Formelblad - Elektromagentism och
v˚agr
¨
orelsel
¨
ara
Rev. 19
Inneh˚all
1 Tabell Prefixtabell 10
2 Tabell
¨
Overs
¨
attningsguide 11
2.1 Bilder till
¨
overs
¨
attningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Tabell Fysikaliska konstanter 11
4 Tabell Relevatna enheter 13
5 Tabell Areor och volymer 14
5.1 2D-geometrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.2 Tabell 3D-geometrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Centralt V˚agl
¨
angd, frekvens, vinkelhastighet 14
7 Tabell Formulering av trigonometriska funktioner 14
8 Centralt Vektorer 15
8.1 R
¨
akneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8.1.1 Addition och subtraktion . . . . . . . . . . . . . . 15
8.1.2 Multiplikation (skal
¨
ar · vektor) . . . . . . . . . . . 15
8.1.3 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8.1.4 Komponenter av en vektor . . . . . . . . . . . . . 15
8.1.5 Normen av en vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8.1.6 Skal
¨
arprodukt (skal
¨
ar som resultat) . . . . . . . . 15
8.1.7 Kryssprodukt (vektor som resultat) . . . . . . . . 15
8.2 Enhetsvektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8.2.1 Enhetsvektorn av en vektor . . . . . . . . . . . . . 16
8.3 Nollvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
9 Elektrostatik 17
1
9.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9.2 Centralt Coloumbs lag (skal
¨
ar form) . . . . . . . . . 17
9.3 Centralt Elektriskt f
¨
alt . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9.4 Centralt Elektriskt f
¨
alt fr˚an en punktladdning . . . . 18
9.5 Elektriskt f
¨
alt fr˚an flera punktladdningar . . . . . . . . . 18
9.6 Elektriskt f
¨
alt fr˚an en kontinuerlig laddningsdistrubution . 18
9.7
Centralt Elektriska f
¨
alt runt laddningar . . . . . . . 19
9.8 Laddningars beteende i elektriska f
¨
alt . . . . . . . . . . . 19
9.9 Princip f
¨
or superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9.10 Linjeladdningst
¨
athet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9.11 Ytladdningst
¨
athet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9.12 Volymladdningst
¨
athet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9.13 F
¨
orenkling Elektriskt f
¨
alt fr˚an linjeladdningst
¨
athet . 20
9.14 F
¨
orenkling Elektriskt f
¨
alt fr˚an ytladdningst
¨
athet . . 20
9.15 Elektisk dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9.15.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9.15.2 Centralt Storlek av dipolmoment: . . . . . . 21
9.15.3 Centralt Vridmoment p˚a en elektrisk dipol . 21
9.15.4 Ekvilibrium f
¨
or elektriska dipoler . . . . . . . . . . 22
9.15.5 Potentialenergi f
¨
or en elektrisk dipol: . . . . . . . . 22
9.16 Elektriskt fl
¨
ode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9.16.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9.16.2 Centralt Elektriskt fl
¨
ode . . . . . . . . . . . . 23
9.16.3 Fl
¨
ode
¨
over en
¨
oppen yta . . . . . . . . . . . . . . . 23
9.16.4 Centralt Gauss lag (sluten yta) . . . . . . . . 24
9.16.5 Centralt Gaussytor (exempel) . . . . . . . . . 24
9.17 Tabell Elektriska f
¨
alt, specialfall enligt symmetrier . 25
9.18 Elektrisk potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9.18.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9.18.2 Samband mellan wattimmar och joule . . . . . . . 25
9.18.3 Centralt Potentialenergi fr˚an elektriskt f
¨
alt . 26
9.18.4 Centralt Potentialenergi mellan tv˚a punkt-
laddningar (storlek) . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9.18.5 Centralt Potentialenergi mellan flera punkt-
laddningar (storlek) . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9.18.6 Centralt
¨
Andring av potentialenergi . . . . . 26
9.18.7 Centralt Elektrisk sp
¨
anning . . . . . . . . . . 26
9.18.8 Centralt Elektrisk sp
¨
anning fr˚an en punkt-
laddning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9.18.9 F
¨
orenkling Elektrisk sp
¨
anning fr˚an en laddad
sf
¨
ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9.18.10 Elektrisk sp
¨
anning p˚a grund av flera punktladd-
ningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9.18.11 Elektrisk potential fr˚an en kontinuerlig laddnings-
distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2
9.18.12 F
¨
orenkling Elektriskt f
¨
alt fr˚an potentialskill-
nad (f
¨
orenklad version) . . . . . . . . . . . . . . . 27
9.18.13 Elektriskt f
¨
alt fr˚an potentialskillnad (storlek) . . . 27
9.18.14 Elektriskt f
¨
alt fr˚an potentialskillnad (vektor) . . . 27
9.18.15 Elektrisk sp
¨
anningsskillnad . . . . . . . . . . . . . 28
9.19 Ekvipotentialyta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.20 Arbete f
¨
or att flytta laddningar i en ekvipotentialyta . . . 28
9.21 Elektrostatisk sk
¨
old (Faradaybur) . . . . . . . . . . . . . . 28
10 Kretsar 29
10.1 Kondensatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10.1.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10.1.2 Dialektrisk konstant . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10.1.3 Energidensitet i dialektrika . . . . . . . . . . . . . 29
10.1.4 Centralt Kapacitans . . . . . . . . . . . . . . 30
10.1.5 Kapacitans f
¨
or en plattkondensator . . . . . . . . . 30
10.1.6 Kapacitans f
¨
or en cylindrisk kondensator . . . . . 30
10.1.7 Centralt Seriekoppling av kondensatorer . . . 30
10.1.8 Centralt Parallellkoppling av kondensatorer . 30
10.1.9 Centralt Lagrad energi i en kondensator . . . 31
10.1.10 Elektrisk energidensitet i vakuum . . . . . . . . . . 31
10.1.11 Centralt Tidskonstant (transistent tillst˚and)
(RC-krets) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
10.1.12 Centralt Uppladdning av kondensator (RC-
krets) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
10.1.13 F
¨
orenkling Kapacitans fr˚an uppladdning . . . 32
10.1.14 Centralt Urladdning av kondensator (RC-krets) 32
10.1.15 F
¨
orenkling Kapacitans fr˚an urladdning . . . 32
10.2 Sp
¨
anning, str
¨
om och resistans . . . . . . . . . . . . . . . . 32
10.2.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
10.2.2 Centralt Ohms lag . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.2.3 Centralt Kirchoffs sp
¨
anningslag . . . . . . . . 34
10.2.4 Centralt Kirchoffs str
¨
omlag . . . . . . . . . . 34
10.2.5 Centralt Samband i parallellkoppling . . . . . 34
10.2.6 Centralt Resistans i parallellkoppling . . . . . 34
10.2.7 Centralt Samband i seriekoppling . . . . . . . 34
10.2.8 Centralt Potentialvandring . . . . . . . . . . 34
10.2.9 Centralt Kretssymboler . . . . . . . . . . . . 34
10.2.10 Str
¨
omriktning i krets . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10.2.11 Ampere- och voltm
¨
atare . . . . . . . . . . . . . . . 35
10.2.12 Str
¨
om . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10.2.13 Elektrisk str
¨
omt
¨
athet (magnitud) . . . . . . . . . . 35
10.2.14 Elektrisk str
¨
omt
¨
athet (vektor) . . . . . . . . . . . 35
10.2.15 Celsius till Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3
10.2.16 Centralt Resistivitet . . . . . . . . . . . . . . 35
10.2.17 Centralt Resistivitet beroende p˚a temperatur 36
10.2.18 Centralt Konduktivitet . . . . . . . . . . . . 36
10.2.19 Resistans f
¨
or en ledare . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.2.20 Centralt Elektromotorisk kraf: resulterande
sp
¨
anning p.g.a. intern resistans . . . . . . . . . . . 36
10.2.21 Centralt Elektrisk effekt . . . . . . . . . . . . 36
10.3 Coaxkabel/koakxialkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.3.1 Resistans i en koaxialkabel . . . . . . . . . . . . . 37
10.3.2 Kapacitans i en koaxialkabel . . . . . . . . . . . . 37
10.3.3 RC-konsant f
¨
or en coaxkabel . . . . . . . . . . . . 37
10.3.4 Kapacitans av en koaxialkabel . . . . . . . . . . . 37
10.3.5 Ers
¨
attningskretsar f
¨
or koaxialkabel . . . . . . . . . 37
11 Magnetostatik 39
11.1 H
¨
ogerhandsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
11.2 Symbolindikatorer f
¨
or magentf
¨
alt . . . . . . . . . . . . . . 40
11.3
¨
Ovrig inledande teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
11.3.1 Centripetalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
11.3.2 Vinkelhastighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
11.3.3 RPM till vinkelhastighet . . . . . . . . . . . . . . . 40
11.3.4 Frekvens fr˚an antalet sekunder . . . . . . . . . . . 41
11.3.5 Centralt
Grundl
¨
aggande: arbete . . . . . . . 41
11.3.6 Centralt Grundl
¨
aggande: arbete (utifr˚an ef-
fekt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11.3.7 Centralt Grundl
¨
aggande: Newtons andra lag:
kraft fr˚an massa och acceleration . . . . . . . . . . 41
11.3.8 Centralt Grundl
¨
aggande: Newtons andra lag:
i rotationsform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11.4 Magnetf
¨
alt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11.4.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11.4.2 Centralt Magnetiskt fl
¨
ode . . . . . . . . . . . 42
11.4.3 Centralt Maxwells lag: Summan av magne-
tiskt fl
¨
ode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
11.4.4 Centralt Magnetisk kraft p˚a en laddad partikel 42
11.4.5 Centralt Biot-Savarts lag: magnetf
¨
alt i en punkt
p.g.a. en “str
¨
omsnutt“ fr˚an en ledare . . . . . . . . 43
11.4.6 F
¨
orenkling Biot-Savarts lag: Magnetf
¨
alt fr˚an
en cirkul
¨
ar str
¨
omslinga eller en kort spole p˚a ett
visst avst˚and . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11.4.7 Centralt BIL: Magnetisk kraft p˚a en elektrisk
ledare i ett magnetf
¨
alt . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11.4.8 Centralt Kraft mellan tv˚a paralella, l˚anga ra-
ka ledare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
11.4.9 Magnetf
¨
altet i en punkt p˚averkat av magnetf
¨
altet
fr˚an flera ledare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4
11.4.10 Centralt Magnetiskt dipolmoment . . . . . . 45
11.4.11 Centralt Energi fr˚an magnetiskt dipolmoment 46
11.4.12 Magnetiskt dipolmoment fr˚an en r
¨
orlig elektron
(“Orbital magnetic moment“) . . . . . . . . . . . . 46
11.4.13 Centralt Magnetiskt vridmoment p˚a en str
¨
omf
¨
orande
ledare/slinga i ett homogent B-f
¨
alt . . . . . . . . . 46
11.4.14 Centralt Gauss sats f
¨
or magnetiska f
¨
alt . . . 46
11.4.15 Centralt Amperes lag . . . . . . . . . . . . . 47
11.4.16 Maxwells till
¨
agg till Amperes lag . . . . . . . . . . 47
11.4.17 Linj
¨
ar magnetisering . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
11.4.18 Magnetisk f
¨
altstyrka genom magnetiskt material . 47
11.4.19 Summan av magnetisk f
¨
altstyrka i fri rymd . . . . 48
11.4.20 F
¨
orenkling Magnetisk f
¨
altstyrka inuti solenoid 48
11.4.21 Centralt Relativ permeabilitet . . . . . . . . 48
11.4.22 Permeabilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
11.4.23 Kategorier av magnetiska material . . . . . . . . . 48
11.4.24 Curietemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
11.4.25 Centralt Magnetf
¨
altet i/n
¨
ara en rak ledare, i
en Toroidspole, eller i mitten av en kondensator . . 49
11.4.26 Centralt Magnetf
¨
altet i mitten av en kort
spole/solenoid/magnetf
¨
altet i mitten av N st str
¨
omslingor 49
11.4.27 F
¨
orenkling Magnetf
¨
altet p˚a axeln i en cir-
kul
¨
ar str
¨
omslinga/spole/N st str
¨
omslingor . . . . . 50
11.4.28 Magnetf
¨
alt fr˚an en punktladdning med konstant
hastighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.4.29 Centralt Magnetisk kraft p˚a partikel i mag-
netf
¨
alt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.4.30 Centralt Kraft p˚a partikel i cirkelbana i mag-
netf
¨
alt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.4.31 Omloppstid f
¨
or partikel i cirkelbana i magnetf
¨
alt . 50
11.4.32 Centralt Hastighetsv
¨
aljare f
¨
or elektroner . . . 50
11.5 Induktans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
11.5.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
11.5.2 Induktans, huvudformel . . . . . . . . . . . . . . . 51
11.5.3 Centralt Lenz lag . . . . . . . . . . . . . . . . 51
11.5.4 Centralt Faradays induktionslag (Elektromo-
torisk kraft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
11.5.5 Elektromotorisk kraft fr˚an elektriskt f
¨
alt . . . . . . 52
11.5.6 Centralt Elektromotorisk kraft i en ledare
som r
¨
or sig genom ett magnetf
¨
alt och som sk
¨
ar
magnetf
¨
altets linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
11.5.7 Elektromotorisk kraft fr˚an induktans . . . . . . . . 52
11.5.8 Lagrad energi i ett magnetf
¨
alt . . . . . . . . . . . . 52
11.5.9 Magnetisk energi i en spole . . . . . . . . . . . . . 53
11.5.10
¨
Omsesidig induktans . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5
11.5.11 Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
11.6 AC-kretsar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
11.6.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
11.6.2 Centralt F
¨
orskjutningar i seriekopplad AC-
krets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
11.6.3 Fasordiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
11.6.4 Sp
¨
anning och str
¨
om i AC-krets . . . . . . . . . . . 56
11.6.5 Impedans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
11.6.6 Ohms lag i AC-kretsar . . . . . . . . . . . . . . . . 58
11.6.7 Resistor i AC-krets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
11.6.8 Kondensator i AC-krets . . . . . . . . . . . . . . . 58
11.6.9 Sp
¨
anning
¨
over induktor i AC-krets . . . . . . . . . 58
11.7 Kretsar med induktans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
11.7.1 RL-krets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
11.7.2 RCL-krets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
12 V˚agr
¨
orelsel
¨
ara 59
12.1 Allm
¨
ant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
12.1.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
12.1.2 Centralt Superpositionsprincipen . . . . . . . 60
12.1.3 Centralt V˚agfunktionen . . . . . . . . . . . . 60
12.1.4 Centralt V˚agtalet . . . . . . . . . . . . . . . 60
12.1.5 Centralt Utberedningsfart f
¨
or v˚ag . . . . . . 61
12.1.6 Mediumets fart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
12.1.7 Mediumets acceleration . . . . . . . . . . . . . . . 61
12.1.8 Hastigheten fr˚an v˚agekvationen . . . . . . . . . . . 61
12.2 Ljudv˚agor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
12.2.1 Centralt V˚agfunktionen f
¨
or en ljudv˚ag . . . . 61
12.2.2 Ljudtryck i en gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
12.2.3 Bulkmodulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
12.2.4 Ljudtryck som en funktion av tid . . . . . . . . . . 61
12.2.5 Maximal ljudtryckamplitud . . . . . . . . . . . . . 61
12.2.6 Ljudets fart i en v
¨
atska eller en gas . . . . . . . . . 62
12.2.7 Ljudets fart i en solid . . . . . . . . . . . . . . . . 62
12.2.8 Centralt Ljudintensitet . . . . . . . . . . . . 62
12.2.9 Ljudabsorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
12.2.10 Centralt Ljudintensitetsniv˚a (dB) . . . . . . 63
12.2.11 Partikelfart i ljudv˚ag . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
12.2.12 Ljudfarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
13 Interferens, allm
¨
ana formler 64
13.0.1 Centralt Totala intensiteten mellan tv˚a v˚agor 64
13.0.2 Centralt Fasf
¨
orskjutingen mellan tv˚a v˚agor . 64
13.0.2.1 Centralt Fasskillnad vid k
¨
allan f
¨
or
ljus / Optisk v
¨
agl
¨
angd . . . . . . . . . . . 64
13.0.3 Centralt Konstruktiv / destruktiv interferens 65
6
13.1 Interferens med ljud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
13.1.1 Centralt Dopplereffekten: upplevd frekvens . 65
13.1.1.1 Lyssnaren r
¨
or sig och k
¨
allan st˚ar still: . . 65
13.1.1.2 Lyssnaren och k
¨
allan r
¨
or sig: . . . . . . . 65
13.1.2 Sv
¨
angning/puls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
13.2 St˚aende v˚agor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
13.2.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
13.2.2 Centralt Ljudets hastighet i luft . . . . . . . 66
13.2.3 Ljudets hastighet i str
¨
ang (en st˚aende, transversell
v˚ag) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
13.2.4 Centralt M
¨
ojliga v˚agl
¨
angder f
¨
or st˚aende v˚agor 67
13.2.5 Grundton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
13.2.6 Avst˚and mellan bukar och noder . . . . . . . . . . 67
13.2.7 Samband f
¨
or v˚ag i r
¨
or/pipor . . . . . . . . . . . . 68
13.2.8 Resulterande st˚aende v˚ag i en pipa . . . . . . . . . 69
13.2.9 St˚aende elektromekaniska v˚agor . . . . . . . . . . . 69
13.2.9.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
13.2.9.2 Relation mellan elektriskt f
¨
alt och mag-
netf
¨
alt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
13.2.9.3 Sinusformade elektromagnetiska v˚agor . . 69
13.2.9.4 Hastighet av elektromagnetisk v˚ag i ma-
terial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
13.2.9.5 Poyiningvektorn . . . . . . . . . . . . . . 69
13.2.9.6 Str˚alningstryck . . . . . . . . . . . . . . . 70
13.2.9.7 Fl
¨
odeshastighet av str˚alningstyck . . . . 70
13.3 Interferens och diffraktion med ljus . . . . . . . . . . . . . 70
13.3.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
13.3.2 Centralt Interferens i tunna skikt . . . . . . . 73
13.3.3 Reflektans mellan tv˚a gr
¨
ansytor i tunt skikt / in-
tensitet av reflekterad intensitet i tunt skikt . . . . 74
13.3.4 Antireflexbehandlingar . . . . . . . . . . . . . . . . 75
13.3.5 Centralt Enkelspalt . . . . . . . . . . . . . . 75
13.3.5.1 Centralt Diffraktionsmin i enkelspalt 75
13.3.6 Centralt Dubbelspalt eller gitter . . . . . . . 76
13.3.6.1 Centralt Konvertering av antal rit-
sar/linjer/spalter till spaltavst˚and . . . . 76
13.3.6.2 Centralt Interferensmax i gitter . . 76
13.3.6.3 Centralt Diffraktionsmin i gitter . . 76
13.3.6.4 Ljusintensitet givet en viss vinkel i gitter 76
13.3.7 Centralt Gr
¨
ansv
¨
arde f
¨
or
¨
overlappande str˚alar
(Rayleighkriteriet/Fraunhoferdiffraktion i lins) . . 76
13.3.8 Resulterande amplitud och intensitet fr˚an interfe-
rens mellan tv˚a v˚agor . . . . . . . . . . . . . . . . 77
14 Ljus 77
14.0.1 Centralt V˚agl
¨
angdstabell f
¨
or ljus . . . . . . . 77
7
14.0.2 Centralt Brytningsindex . . . . . . . . . . . . 77
14.1 Tumregel f
¨
or brytningsriktning . . . . . . . . . . . . . . . 77
14.1.1 Infallsvinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
14.2 Totalreflektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
14.3 Centralt Snells lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
14.4 Paradoxial approximation av Snells lag . . . . . . . . . . . 78
14.5 Centralt Str˚alkonstruktion/str˚alritning . . . . . . . . 78
14.6 Centralt Avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
14.6.0.1 Aberation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
14.6.1 Centralt Teckenkonvention f
¨
or avbildningar . 82
14.6.2 Centralt Teckenkonvention f
¨
or f
¨
orstoringar . 82
14.6.3 Centralt Reel- och icke-reel bild . . . . . . . . 82
14.6.4 Centralt Negativ och positiv lins . . . . . . . 82
14.6.5 Centralt Avbildning: allm
¨
an formel . . . . . . 82
14.6.6 Centralt Avbildning: sf
¨
arisk gr
¨
ansyta . . . . 82
14.6.7 Centralt Avbildning: tunn lins . . . . . . . . 83
14.6.7.1 Centralt Kr
¨
okt lins/linsmakarens ek-
vation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
14.6.7.2 Centralt Tunna lins-ekvationen . . . 84
14.6.8 Centralt F
¨
orstoring (Lateral f
¨
orstoring) . . . 84
14.6.9 Centralt Vinkelf
¨
orstoring, allm
¨
an formel . . . 84
14.6.10 Teori: vad
¨
ar skillnad mellan avbildningarna? . . . 84
14.6.11 Avbildningar i kamera/system med s >> f (t.ex.
¨
oga som tittar p˚a l˚angt h˚all) . . . . . . . . . . . . 86
14.6.11.1 Centralt Kameraapproximationer . 86
14.6.11.2 Olika typer av kameraobjektiv . . . . . . 87
14.6.11.3 Centralt Objektsh
¨
ojd i kamera . . . 87
14.6.11.4 F
¨
orenkling Synf
¨
alt i kamera . . . . 87
14.6.11.5 Centralt L
¨
ampligt f-nummer/f-stopp
f
¨
or kamera . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
14.6.11.6 Centralt Ljusintensitetssamband i ka-
mera/slutartider i kamera . . . . . . . . . 88
14.6.12 Avbildningar i teleskop, kikare (eller zoom-/teleobjektiv
p˚a t.ex. kameror) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
14.6.12.1 Centralt Avst˚and mellan linser . . . 88
14.6.12.2 Centralt Vinkelf
¨
orstoring i teleskop/ki-
kare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
14.6.12.3 Kikarm
¨
arkning . . . . . . . . . . . . . . . 88
14.6.13 Avbildningar i lupp . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
14.6.13.1 Centralt Kortast m
¨
ojliga fokuserings-
avst˚and f
¨
or en m
¨
anniska . . . . . . . . . 89
14.6.13.2 Centralt Vinkelf
¨
orstoring i lupp . . 89
14.6.14 Avbildningar i mikroskop . . . . . . . . . . . . . . 89
14.6.14.1 Centralt Vinkelf
¨
orstoring i mikroskop 89
8
14.6.15
¨
Ovriga noteringar av avbildningar i optiska system 89
14.6.16 Avbildning: brytande yta . . . . . . . . . . . . . . 89
14.6.17 Avbildning: brytande spegel . . . . . . . . . . . . . 90
14.7 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
14.7.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
14.7.2 Generellt: komposanter av polarisationens elekt-
riska f
¨
alt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
14.7.3 Centralt Olika typer av polarisation . . . . . 90
14.7.4 Polarisationsfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
14.7.5 Centralt Polarisationsfilter: minskning av in-
tensitet vid opolariserat ljusinfall . . . . . . . . . . 90
14.7.6 Centralt Polarisationsfilter: Malus lag . . . . 90
14.7.7 Dubbelbrytning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
14.7.8 Centralt Reflektans och transmittans . . . . . 91
14.7.9 Centralt Reflektans f
¨
or s-polariserat och p-
polariserat ljus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
14.7.9.1 Centralt Fresnels formler . . . . . . 91
14.7.9.2 Centralt Summan av reflektanser f
¨
or
s-polariserat och p-polariserat ljus . . . . 91
14.7.9.3 Centralt
Brewstervinkeln: gr
¨
ansvinkel
vid reflektion . . . . . . . . . . . . . . . . 92
A Sidh
¨
anvisningar i b
¨
ocker 92
A.1 Sammanfattningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9
1 Tabell Prefixtabell
Beteckning Ben
¨
amning Talfaktor
Y yotta 10
24
Z zetta 10
21
E exa 10
18
P peta 10
15
T tera 10
12
G giga 10
9
M mega 10
6
k kilo 10
3
h hekto 10
2
da dekta 10
1
d deci 10
−1
c centi 10
−2
m milli 10
−3
µ mikro 10
−6
n nano 10
−9
p piko 10
−12
f femto 10
−15
a atto 10
−18
z zepto 10
−21
y yokto 10
−24
10
2 Tabell
¨
Overs
¨
attningsguide
Engelska Svenska
Flux Fl
¨
ode (Φ
E
)
Linear charge density Linj
¨
ar laddningst
¨
athet
Hemispherical En form, formen av en halv sf
¨
ar.
(Se bild nedan).
Cavity H˚alighet
Uniform J
¨
amn/j
¨
amnt (distribuerade)
Equilibrium Ekvilibrium (j
¨
amvikt/balans)
Finite
¨
Andlig
Arbitrary Godtycklig
Semicircle Halvcirkel
Displacement vector F
¨
orskjutningsvektor. Kortaste
avst˚andet mellan tv˚a punkter
representerat som en vektor.
Current loop Str
¨
omslinga
Inertia Tr
¨
oghet
Common magnifier F
¨
orstoringsglas
2.1 Bilder till
¨
overs
¨
attningar
Figur 1: Hemisphere.
3 Tabell Fysikaliska konstanter
(notera: denna tabell har genererats med ChatGPT men de konstanter
jag anv
¨
ant h
¨
arifr˚an har (hittills) varit r
¨
att. Dubbelkolla med en formel-
samling f
¨
or extra s
¨
akerhet!)
11
Konstant Symbol V
¨
arde
Ljusets hastighet c 2.998 · 10
8
m/s
Ljudets hastighet (20
◦
) v
ljud
343 m/s
Plancks konstant h 6.626 · 10
−34
J·s
Elementarladdning e 1.602 · 10
−19
C
Laddning av en proton e 1.602 · 10
−19
C
Laddning av en elektron −e −1.602 · 10
−19
C
Gravitationskonstanten G 6.674 · 10
−11
N·m
2
/kg
2
Boltzmanns konstant k 1.381 · 10
−23
J/K
Avogadros tal N
A
6.022 · 10
23
mol
−1
Elektronmassan m
e
9.109 · 10
−31
kg
Protonmassan m
p
1.673 · 10
−27
kg
Neutronmassan m
n
1.675 · 10
−27
kg
Permittivitet i vakuum ϵ
0
8.854 · 10
−12
C
2
/(N·m
2
)
Permeabilitet i vakuum µ
0
4π · 10
−7
N/A
2
Universiella gaskonstanten R 8.314 J/(mol·K)
Stefan-Boltzmanns konstant σ 5.670 · 10
−8
W/(m
2
·K
4
)
1
4πϵ
0
= 8, 988 · 10
9
N
2
· m/C
2
(ϵ
0
¨
ar den relativa permeabiliteten i vakuum)
Tv˚a enkla f
¨
orenklingar av µ
0
som ofta kommer upp vid ber
¨
akningar relaterade
till magnetf
¨
alt:
µ
0
4π
= 10
−7
µ
0
2π
= 2 · 10
−7
12
4 Tabell Relevatna enheter
(notera: f
¨
oljande tabell har genererats med Bing Ai. Dubbelkolla saker om du
¨
ar os
¨
aker!)
Fysiskt fenomen Symbol Enhet
Vridmoment τ Nm (Newtonmeter)
Elektriskt f
¨
alt
E N/C (Newton per Coulomb) eller V/m (Volt per meter)
Elektromotorisk kraft E V (Volt)
Magnetf
¨
alt
B T (Tesla)
Magnetisk fl
¨
ode Φ Wb (Weber)
Induktans L H (Henry)
Kapacitans C F (Farad)
Resistans R Ω (Ohm)
Impedans Z Ω (Ohm)
Reaktans X Ω (Ohm)
V˚aghastighet v m/s (meter per sekund)
V˚agl
¨
angd λ m (meter)
Frekvens f Hz (Hertz)
Vinkelfrekvens ω rad/s (radian per sekund)
V˚agtal k rad/m (radian per meter)
13
5 Tabell Areor och volymer
5.1 2D-geometrier
Form Area
Parallellogram b · h
Parallelltrapets
h(a+b)
2
∗
Cirkelsektor b =
v
360
◦
· 2πr = αr
†
5.2 Tabell 3D-geometrier
Form Mantelarea Volym
Prisma B · H
‡
Cylinder 2πr · h πr
2
· h
Pyramid
B·h
3
Kon πr · s
§
πr
2
·h
3
Klot 4πr
2
4πr
3
3
Halvcirkel
2πr
3
3
6 Centralt V˚agl
¨
angd, frekvens, vinkel-
hastighet
f =
1
T
f : Frekvens (Hz)
T : Period
ω = 2πf
ω : Vinkelhastighet (rad/s), f : Frekvens (Hz)
λ =
v
f
7 Tabell Formulering av trigonometris-
ka funktioner
Formulering av trigonometriska funktioner:
∗
a
¨
ar l
¨
angden p˚a bottensidan och b
¨
ar l
¨
angden p˚a toppsidan-
†
b : b˚agl
¨
angden, v : medelpunktsvinkeln i grader, α : medelpunktsvinkeln i radi-
anter
‡
B
¨
ar basytan och h
¨
ar h
¨
ojden
§
s
¨
ar l
¨
angden av konens “hypotenusa“ (du fattar!)
14
8 Centralt Vektorer
8.1 R
¨
akneregler
8.1.1 Addition och subtraktion
A +
B = (A
x
+ B
x
, A
y
+ B
y
, A
z
+ B
z
)
A −
B = (A
x
− B
x
, A
y
− B
y
, A
z
− B
z
)
8.1.2 Multiplikation (skal
¨
ar · vektor)
OBS! Detta
¨
ar f
¨
or multiplikation mellan en skal
¨
ar och en vektor. F
¨
or mul-
tiplikation mellan tv˚a vektorer (b˚ade f
¨
or skal
¨
ar- och kryssprodukt), se ne-
dan.
k ·
A = (kA
x
, kA
y
, kA
z
)
8.1.3 Division
Det g˚ar inte att dividera tv˚a vektorer med varandra.
8.1.4 Komponenter av en vektor
V
x
= V cos(θ), V
y
= V sin(θ)
8.1.5 Normen av en vektor
(vektorns l
¨
angd)
||
A|| =
q
A
2
x
+ A
2
y
+ A
2
z
8.1.6 Skal
¨
arprodukt (skal
¨
ar som resultat)
Med k
¨
and vinkel
A ·
B = |
A||
B|cos(θ)
θ : Vinkel mellan vektorerna
n
¨
ar placerade “tail to tail“
Genom att addera komponenter
A ·
B = A
x
B
x
+ A
y
B
y
+ A
z
B
z
8.1.7 Kryssprodukt (vektor som resultat)
A ×
B = |
A||
B|sin(θ) · ˆe
⊥
ˆe
⊥
: Enhetsvektor (vinkelr
¨
at
mot A och B)
8.2 Enhetsvektorer
ˆ
i = (1, 0, 0)
ˆ
j = (0, 1, 0)
ˆ
k = (0, 0, 1)
15
9 Elektrostatik
9.1 Teori
Notera enheter f
¨
or elektriskt f
¨
alt:
N/C = V/m
Notera
¨
aven tecken f
¨
or elektriskt f
¨
alt: Se 9.7.
Coloumbs lag Couloumbs lag s
¨
ager att kraften mellan tv˚a laddningar
¨
ar
proportionell mot avst˚andet mellan de i kvadrat. Utifr˚an denna grundl
¨
aggande
lag kan vi sedan definiera andra begrepp som har med laddningar etc. att
g
¨
ora.
Elektriska f
¨
alt Elektriska f
¨
alt
¨
ar ett m˚att p˚a kraft per laddning. Elekt-
riska f
¨
alt p˚averkar bl.a. laddningar som r
¨
or sig inuti de. Kraften mellan tv˚a
laddningar ges av Couloumbs lag (se 9.2).
Laddningar Laddningar har ocks˚a sj
¨
alva elektriska f
¨
alt (9.4). En positiv ladd-
ning har f
¨
altlinjerna riktade ut fr˚an sig och en negativ laddning har f
¨
altlinjerna
riktat in mot sig. Se bild 2.
Laddningst
¨
athet I ytor d
¨
ar massor av laddningar
¨
ar utspridda r
¨
aknar vi
ist
¨
allet med laddningst
¨
atheter, som
¨
ar ett m˚att p˚a antalet laddningar per
volym, area, etc. Se t.ex. 9.10.
9.2 Centralt Coloumbs lag (skal
¨
ar form)
(Boken, 21.2)
F =
1
4πϵ
0
·
|q
1
q
2
|
r
2
F : Kraft (N)
q1 : Laddning av partikel 1 (C)
q2 : Laddning av partikel 2 (C)
r : Avst˚and mellan partiklar
9.3 Centralt Elektriskt f
¨
alt
Vektor:
(Boken, 21.3)
E =
F
0
q
0
Storlek:
E =
F
q
=
V
d
E : Elektriskt f
¨
alt (V/m, N/C)
F : Kraft p˚a en testladdning i f
¨
altet (N)
q : Testladdning (C)
V : Sp
¨
anning mellan plattor (V)
d : Avst˚and mellan plattor (m)
17
9.4 Centralt Elektriskt f
¨
alt fr˚an en punktladd-
ning
(se exempel 21.8 sida 725 ifall du har en uppgift d
¨
ar du ska ta fram ett uttryck
f
¨
or flera punktladdningar)
E =
1
4πϵ
0
|q|
r
2
E : Elektriskt f
¨
alt (N/C)
ϵ
0
: Konstant
q : Punktladdning (C)
r : Avst˚and till m
¨
atpunkten (m)
E =
1
4πϵ
0
|q|
r
2
ˆr
E : Elektriskt f
¨
alt (N/C)
ϵ
0
: Konstant
q : Punktladdning (C)
r : Avst˚and till m
¨
atpunkten (m)
ˆr : Enhetsvektor fr˚an k
¨
allan till m
¨
atpunkten
(boken, 21.7 & 21.6)
9.5 Elektriskt f
¨
alt fr˚an flera punktladdningar
(Khan Academy)
(summera ihop alla laddningars individuella elektriska f
¨
alt)
X
i
q
i
r
2
ˆr
9.6 Elektriskt f
¨
alt fr˚an en kontinuerlig laddningsdi-
strubution
(Khan Academy)
(integrera
¨
over alla laddningar i deras individuella punkter)
E =
ˆ
1
4πϵ
0
dq
r
2
ˆr
En blixturladdning skapas vid
E ≈ 2 · 10
6
N/C
18
9.7 Centralt Elektriska f
¨
alt runt laddningar
Figur 2: Laddningars elektriska f
¨
alt
→ F
¨
oljder:
• F
¨
altet riktad in˚at mot en yta
¨
ar negativt.
• F
¨
altet riktad ut˚at fr˚an en yta
¨
ar positivt.
9.8 Laddningars beteende i elektriska f
¨
alt
(se bilder nedan)
• En positiv laddning r
¨
or sig l
¨
angs med f
¨
altlinjerna.
• En negativ laddning r
¨
or sig tv
¨
artemot f
¨
altlinjerna.
9.9 Princip f
¨
or superposition
Var f
¨
orsiktig med f
¨
altriktningar h
¨
ar. Kom ih˚ag att f
¨
altet fr˚an en negativ ladd-
ning riktas in˚at mot laddningens centrum (tv
¨
artom vad positiva laddningars
f
¨
alt g
¨
or)
F
0
=
F
1
+
F
2
= q
1
E
1
+ q
2
E
2
(en kraft (enligt Coloumbs lag) i en punkt
¨
ar summan av alla individuella
krafter som verkar p˚a den punkten)
E =
E
1
+
E
2
+
E
3
+ ... +
E
n
19
(ett elektriskt f
¨
alt i en punkt
¨
ar summan av alla elektriska f
¨
alt som verkar p˚a
den punkten)
9.10 Linjeladdningst
¨
athet
λ =
q
L
q : Laddning (C)
L : L
¨
angd (m)
9.11 Ytladdningst
¨
athet
σ =
q
A
q : Laddning(C)
A : Area(m
2
)
9.12 Volymladdningst
¨
athet
ρ =
q
V
q : Laddning(C)
A : Volym(m
3
)
Notera att de tv˚a formlerna nedan g
¨
aller p˚a avst˚and r mycket mindre
¨
an
linjens eller ytans l
¨
angd.
9.13 F
¨
orenkling Elektriskt f
¨
alt fr˚an linjeladd-
ningst
¨
athet
(Formelblad i elektromagnetism och v˚agr
¨
orelsel
¨
ara fr˚an Canvas, 2.3, Khan
Academy)
E =
λ
2πϵ
0
r
λ : Linjeladdningst
¨
athet (C/m)
ϵ
0
: Konstant
r : Avst˚and fr˚an laddning (m)
9.14 F
¨
orenkling Elektriskt f
¨
alt fr˚an ytladdningst
¨
athet
(Formelblad i elektromagnetism och v˚agr
¨
orelsel
¨
ara fr˚an Canvas, 2.4)
(“oberoende av avst˚and“ enligt formelbladet)
E =
σ
2ϵ
0
Laddningars varaktighet
(Khan Academy)
Typ av f
¨
alt F
¨
orsvinner efter
Punktladdning
1
r
2
Linjeladdning
1
r
Ytladdning Aldrig
20
9.15 Elektisk dipol
9.15.1 Teori
Elektriska dipoler best˚ar av en positiv och en negativt laddad sida med li-
ka stor laddning |q|. De
¨
ar f
¨
orskjutna med ett litet avst˚and d. Externt s˚a
p˚averkar de genom deras dipolmoment (9.15.2). Om man placerar en dipol i
ett elektriskt f
¨
alt och det inte
¨
ar orienterat parallellt mot det elektriska f
¨
altet,
s˚a verkar ett dipolmoment f
¨
or att vrida dipolen till ett ekvilibrium. Observera
att vridmoment och dipolmoment
¨
ar tv˚a olika saker! Observera att
elektriska dipoler inte p˚averkas av n˚agon kraft fr˚an det elektriska
f
¨
altet!
Figur 3: Illustration
¨
over en elektrisk dipol
9.15.2 Centralt Storlek av dipolmoment:
(boken, 2.14)
p = qd
p : Dipolmoment (Cm)
q : Laddning (C)
d : Avst˚and mellan laddningar inuti dipolen (laddningsseparation) (m)
9.15.3 Centralt Vridmoment p˚a en elektrisk dipol
Figur 4: Illustration
¨
over vridmoment p˚a elektriska dipoler
Observera att elektriska dipoler inte p˚averkas av n˚agon kraft fr˚an
det elektriska f
¨
altet! (se bild) Vektor:
21
(boken, 21.15)
τ = p ×
E
τ : Vridmomentsvektor
p : Dipolmoment
E : Elektriskt f
¨
alt
Storlek:
(boken, 21.15)
τ = pEsin(ω)
τ : Vridmoment (Nm)
p : Dipolmoment (Cm)
E : Elektrisk f
¨
altstyrka (N/C)
ω : Vinkel mellan p och E
9.15.4 Ekvilibrium f
¨
or elektriska dipoler
• Om vinkeln mellan dipolen och det elektriska f
¨
altet
¨
ar 0
◦
, d˚a
¨
ar vrid-
momentet 0 och dessutom
¨
ar dipolen i ett stabilt ekvilibrium (sv˚art att
p˚averka den s˚a att den b
¨
orjar vrida sig)
• Om vinkeln mellan dipolen och det elektriska f
¨
altet
¨
ar 180
◦
, d˚a
¨
ar
vridmomentet 0 men dipolen
¨
ar i ett instabilt ekvilibrium (enklare att
p˚averka den s˚a att den b
¨
orjar vrida sig j
¨
amf
¨
ort med ovan)
9.15.5 Potentialenergi f
¨
or en elektrisk dipol:
Storlek:
(boken, 21.17)
U = −p · Ecos(ω)
Vektor:
(boken, 21.18)
U =
−p ·
E
9.16 Elektriskt fl
¨
ode
9.16.1 Teori
Elektriskt fl
¨
ode
¨
ar ett m˚att p˚a hur mycket laddning som fl
¨
odar genom en
yta per sekund.
¨
Oppen vs. sluten yta I en sluten yta (d
¨
ar det inte finns n˚agon m
¨
ojlighet
f
¨
or laddningarna att l
¨
amna) s˚a kan man applicera Gauss lag f
¨
or att r
¨
akna
ut det elektriska fl
¨
odet. Notera att om man har en
¨
oppen yta med en j
¨
amn
laddningsdistribution, s˚a kan man “st
¨
anga in“ den med en s.k.
Gaussyta (t.ex. st
¨
anga in en cirkel av laddning inuti en sf
¨
ar med samma radie
som cirkeln) och p˚a s˚a s
¨
att r
¨
akna ut det totala fl
¨
odet.
Exempel p˚a gaussytor En cirkul
¨
ar laddningsdistribution (exempelvis en
cirkel med en kontinuerlig laddningsdistribution runt utsidan av den) kan om-
slutas med en sf
¨
ar. En linjeladdning kan omslutas av en cylinder.
22
Tabellen i slutet av denna del
¨
ar fr˚an boken och har svar p˚a mycket!
Notera att formlerna nedan endast g
¨
aller om elektriska f
¨
altet ej varierar
¨
over arean!
9.16.2 Centralt Elektriskt fl
¨
ode
Storlek:
(boken, 22.1)
Φ
E
= EAcos(θ)
ϕ
E
: Elektriskt fl
¨
ode
E : Elektriskt f
¨
alt
A : Area
θ : Vinkel mellan areavektor och f
¨
alt
(notera att om vinkeln
¨
ar 0
◦
blir uttrycket endast lika med EA).
Viktigt: Vinkeln ovan
¨
ar baserat p˚a areavektorn, som ritas vinkelr
¨
att mot
arean. Se fig. 5 f
¨
or illustration. Viktigt: Gl
¨
om inte att anv
¨
anda r
¨
att tecken
vid elektriska f
¨
alt. Se ??.
Vektorform: (boken, 22.3)
Φ
E
=
E ·
A
d
¨
ar A
¨
ar beskrivs som:
A = Aˆn
A : Arean av ytan
ˆn : Normalvektor (en enhetsvektor)
Areavektorer
¨
ar allts˚a en vektor som har areans storlek som
¨
ar parallell med
arean.
Se
¨
aven f
¨
oljande bild p˚a areavektorer:
Figur 5: Tv˚a exempel p˚a areavektorer
9.16.3 Fl
¨
ode
¨
over en
¨
oppen yta
(boken, 22.5)
(notera: i boken st˚ar lite fler h
¨
arledningar och samband f
¨
or formeln.)
Φ
E
=
¨
A
E · d
A
23
9.16.4 Centralt Gauss lag (sluten yta)
(boken, 22.8) “Den totala elektriska laddningen som finns innanf
¨
or en yta
¨
ar
lika med ytintegralen av den elektriska fl
¨
odest
¨
atheten
¨
over hela ytan“
Φ
E
=
‹
A
E · d
Aϕ
E
=
Q
omsluten
ϵ
0
Notera: Om du t.ex. vet fl
¨
odet in mot en yta och fl
¨
odet ut fr˚an ytan, s
¨
att
Φ
E
= ∆Φ
E
Notera: Se tabell 9.17 f
¨
or n˚agra konkreta formler och appliceringar av Gauss
lag.
9.16.5 Centralt Gaussytor (exempel)
En cirkul
¨
ar laddning omsluten av en sf
¨
ar
En linjeladdning omsluten av en cylinder Endast fl
¨
odet l
¨
angs med cy-
lindern kommer ge ett bidrag (inte toppen eller botten av cylindern)
¨
toppen
E·
dA+
¨
botten
E·
dA+
¨
sidorna
E·
dA = 0+0+E·2πrL =
λL
ϵ
0
E : Elektriska f
¨
altstyrkan (V/m=N/C)
r : Radien av cylindern (m)
L : L
¨
angden av cylindern (m)
λ : Linjeladdningst
¨
atheten
24
9.17 Tabell Elektriska f
¨
alt, specialfall enligt sym-
metrier
(boken, sida 767)
Laddningsdistribution Punkt i elektriskt f
¨
alt Magnitud av elektriskt
f
¨
alt
En punktladdning q Avst˚and r fr˚an q E =
1
4πϵ
0
q
r
2
Laddning q p˚a ytan av
en ledande sf
¨
ar med ra-
die R
Utanf
¨
or sf
¨
aren r > R E =
1
4πϵ
0
q
r
2
Innanf
¨
or sf
¨
aren r < R E = 0
O
¨
andligt l˚ang ledare,
linjeladdningst
¨
athet λ
Avst˚and r fr˚an ledaren E =
1
2πϵ
0
λ
r
O
¨
andlig ledande cylin-
der med radie R och
linjeladdningst
¨
athet λ
Utanf
¨
or cylindern r >
R
E =
1
2πϵ
0
λ
r
Innanf
¨
or cylindern r <
R
E = 0
O
¨
andlig sf
¨
ar, med ra-
die R och laddning
Q j
¨
amnt distribuerat
¨
over volymen
Utanf
¨
or sf
¨
aren r > R E =
1
4πϵ
0
Q
r
2
Innanf
¨
or sf
¨
aren r < R E =
1
4πϵ
0
Q
R
3
O
¨
andligt “ark“ med
laddning med j
¨
amn
laddning per enhetsa-
rea σ
Vilken punkt som helst E =
σ
2ϵ
0
Tv˚a motsatt laddade
ledande plattor med
ytladdningst
¨
atheten
+σ och −σ
Vilken punkt som helst
mellan plattorna
E =
σ
ϵ
0
Laddad ledande yta/-
ledare (conductor)
Precis utanf
¨
or ytan E =
σ
ϵ
0
‖
9.18 Elektrisk potential
9.18.1 Teori
Elektrisk potentialenergi
¨
ar en lagrad storhet (typ av potentialenergi).
Bland annat fr˚an tv˚a punktladdningar och fr˚an ett elektriskt f
¨
alt kan det-
ta r
¨
aknas ut konkret, se exempelvis 9.18.3 och 9.18.4.
¨
Ovrig inledande teo-
ri:
9.18.2 Samband mellan wattimmar och joule
1W = 1J/s. S˚a 1W h = 3600J. Elektrisk potential/sp
¨
anning
¨
ar ett m˚att
p˚a
¨
andringen i potentialenergi per enhetsladdning, allts˚a den energi som det
‖
Notera tecken f
¨
or laddade ledande ytor f
¨
or laddade ledande ytor: Om elektriska
f
¨
altet
¨
ar riktat in˚at mot ytan,
¨
ar laddningen negativ. Annars
¨
ar den positiv.
25
kr
¨
avs f
¨
or att flytta en couloumb av laddning mellan tv˚a olika punkter.
Referenspunkt. Vid m
¨
atning av potential v
¨
aljs alltid en referenspunkt f
¨
or
m
¨
atning.
9.18.3 Centralt Potentialenergi fr˚an elektriskt f
¨
alt
(Boken, 23.6)
U = q
0
Ey
U : Potentialenergi (J)
q
0
: Laddning (C)
E
y
: Elektriska f
¨
altets y-komposant (N/C=V/m)
9.18.4 Centralt Potentialenergi mellan tv˚a punktladd-
ningar (storlek)
(Boken, 23.7)
U =
qq
0
4πϵ
0
r
9.18.5 Centralt Potentialenergi mellan flera punktladd-
ningar (storlek)
(Boken, 23.10)
U =
q
0
4πϵ
0
(
q
1
r
1
+
q
2
r
2
+
q
3
r
3
+ ... +
q
n
r
n
) =
q
0
4πϵ
0
·
X
i
q
i
r
i
9.18.6 Centralt
¨
Andring av potentialenergi
(Boken, 23.2)
W
a→b
= U
a
− U
b
= −∆U
U
a
: Potentialenergi i ursprungspositionen
U
b
: Potentialenergi i m˚alpositionen
(G
¨
oran Manneberg)
ˆ
B
A
E · dr
9.18.7 Centralt Elektrisk sp
¨
anning
(Boken, 23.12)
V =
U
q
0
V : Potential (V)
U : Potentialenergi (J)
q
0
: Testladdning (Q)
Notera att 1V = 1J/C
9.18.8 Centralt Elektrisk sp
¨
anning fr˚an en punktladd-
ning
(Boken (23.14), G
¨
oran Manneberg & Theodor Staffas)
V =
1
4πϵ
0
·
q
r
26
9.18.9 F
¨
orenkling Elektrisk sp
¨
anning fr˚an en laddad sf
¨
ar
Betrakta sf
¨
aren som en punktladdning och byt ut q i 9.18.8 mot den totala
laddningen av sf
¨
aren.
Se sida 789, exempel 23.8 i boken.
9.18.10 Elektrisk sp
¨
anning p˚a grund av flera punktladdning-
ar
(boken, 23.15)
V =
1
4πϵ
0
X
i
(
q
i
r
i
=
q
1
r
1
+
q
2
r
2
+...+
q
n
r
n
)
U : Elektrisk potential (V)
i : Antal laddningar
q
i
: Laddning i:s v
¨
arde (C)
r
i
: Avst˚andet fr˚an punkten i till potentialen (m)
(summaformeln anv
¨
ands precis som i Potentialenergi mellan flera punktladd-
ningar)
9.18.11 Elektrisk potential fr˚an en kontinuerlig laddningsdis-
tribution
(Boken, 23.16)
V =
1
4πϵ
0
ˆ
dq
r
U : Sp
¨
anning (V)
ϵ
0
: Konstant
r : Avst˚and fr˚an element till m
¨
atning (m)
dq : Laddningselement (C)
9.18.12 F
¨
orenkling Elektriskt f
¨
alt fr˚an potentialskillnad
(f
¨
orenklad version)
(Khan Academy)
E =
−∆V
r
E : Elektriskt f
¨
alt (N/C=V/m)
∆V : Potential
¨
andring (V)
r : Avst˚and (f
¨
or potential
¨
andringen) (m)
9.18.13 Elektriskt f
¨
alt fr˚an potentialskillnad (storlek)
(Boken)
E
x
= −
∂V
∂x
E
y
= −
∂V
∂y
E
z
= −
∂V
∂z
(Varje komponent i det elektriska f
¨
altet kan f˚as av den partiella derivatan av
potentialfunktionen U med avseende p˚a s
¨
okt komponent)
9.18.14 Elektriskt f
¨
alt fr˚an potentialskillnad (vektor)
(Boken)
E = −(
ˆ
i
∂V
∂x
+
ˆ
j
∂V
∂y
+
ˆ
k
∂V
∂z
)
27
9.18.15 Elektrisk sp
¨
anningsskillnad
(boken, 23.17)
∆V = V
a
−V
b
=
ˆ
b
a
E·d
l =
ˆ
b
a
Ecos(θ)dl
V
a
: Potential i a (V)
V
b
: Potential i b (V)
a, b : Punkter
E : Elektriskt f
¨
alt
d
l : F
¨
orskjutningsvektor (se
¨
overs
¨
attningstabell)
θ : Vinkel mellan
E och d
l
9.19 Ekvipotentialyta
En ekvipotentialyta
¨
ar en yta d
¨
ar potentialen
¨
ar samma p˚a varje punkt i ytan.
Denna yta
¨
ar alltid vinkelr
¨
at mot f
¨
altlinjerna.
9.20 Arbete f
¨
or att flytta laddningar i en ekvipoten-
tialyta
Arbete f
¨
or att flytta laddningar inom ytan
¨
ar alltid 0.
W
q
A
B
= 0
9.21 Elektrostatisk sk
¨
old (Faradaybur)
I en elektrostatisk sk
¨
old s˚a
¨
ar insidan skyddad, och det totala elektriska f
¨
altet
¨
ar noll eftersom ett internt motverkande f
¨
alt bildas.
E
intern
+ E
extern
= 0
28
10 Kretsar
10.1 Kondensatorer
10.1.1 Teori
Kondensatorer lagrar laddning (men avger inte en konstant sp
¨
anning till
skillnad fr˚an batterier). Deras styrka m
¨
ats i Farad.
Typer av kondensator: Det finns plattkondensatorer och cylindriska kon-
densatorer.
Gl
¨
om inte att ta h
¨
ansyn till v
¨
ardet p˚a den dialektriska konstanten
i det aktuella materialet n
¨
ar du r
¨
aknar p˚a kapacitansen f
¨
or t.ex. plattkon-
densatorer och cylindriska kondensatorer!
RC-krets: best˚ar av en eller flera resistorer och en eller flera kondensato-
rer.
F
¨
orenkling av RC-kretsar: Se samband nedan f
¨
or ers
¨
attningresistans och
ers
¨
attningskapacitans om du har t.ex. en krets som
¨
ar en paralellkoppling.
Uppladdning av kondensator: I en RC-krets
¨
ar f
¨
orst sp
¨
anningen
¨
over re-
sistorn maximal, men
¨
over tid
¨
andras detta och sp
¨
anningen g˚ar ist
¨
allet
¨
over
till att vara f
¨
ordelad
¨
over kondensatorn. Vid en fullt uppladdad kondensator
g˚ar ingen str
¨
om genom kretsen!
Rimliga v
¨
arden vid ur- och uppladdning: F
¨
oljande samband kan anv
¨
andas
f
¨
or att kontrollera om man r
¨
aknat r
¨
att vid uppladdning och urladdning:
Tid Urladdning (%)
t = 1 · τ 63, 2%
t = 2 · τ 86, 5%
t = 3 · τ 95, 0%
t = 4 · τ 98, 2%
t = 5 · τ 99, 3%
En kondensator
¨
ar allts˚a fullt urladdad eller uppladdad d˚a t ≈ 5 ·
τ.
(The Organic Chemistry Tutor, YouTube)
10.1.2 Dialektrisk konstant
ϵ
r
=
C
C
0
ϵ
r
: Dialektrisk konstant
C : Kapacitans vid ett visst tillst˚and (F)
C
0
: Kapacitans i vakuum (F)
F
¨
or att r
¨
akna med dialektriska konstanten
ϵ
0
↔ ϵ
r
· ϵ
0
10.1.3 Energidensitet i dialektrika
u =
1
2
ϵ
0
E
2
u : Energidensitet (J/m3)
ϵ : Dialektrisk konstant
E : Elektrisk f
¨
altstyrka (N/C, V/m)
29
10.1.4 Centralt Kapacitans
(Boken, G
¨
oran Manneberg + Magnus)
C =
Q
V
C : Kapacitans (F)
Q : Laddning (C)
V : Sp
¨
anning/Plattsp
¨
anning (V) (se nedan)
Vilken sp
¨
anning ska jag v
¨
alja? Om du antar att kondensatorn
¨
ar fullt
uppladdad, ska du anv
¨
anda sp
¨
anningen i kretsen. T.ex om den laddas upp av
ett batteri p˚a 20V i en krets med en resistor, s
¨
att V = 20V f
¨
or
¨
ogonblicket
n
¨
ar den har full uppladdning. Annars, s
¨
att V till sp
¨
anningen mellan platta A
och platta B i kondensatorn!
10.1.5 Kapacitans f
¨
or en plattkondensator
(boken, 24.2)
C = ϵ
0
A
d
C : Kapacitans (F)
ϵ
0
: Konstant
A : Area
d : Avst˚and mellan plattor
10.1.6 Kapacitans f
¨
or en cylindrisk kondensator
(Magnus, boken sida 813)
C =
2πϵ
0
L
ln(
r
b
r
a
)
C : Kapacitans (F)
L : Cylinderns l
¨
angd (m)
r
a
: Cylinderns innerradie (m)
r
b
: Cylinderns ytterradie (m)
(notera att r
b
= r
a
+ d d
¨
ar d
¨
ar ett avst˚and mellan den inre och yttre ytan p˚a
kondensatorn)
10.1.7 Centralt Seriekoppling av kondensatorer
(Magnus)
V
a
b = V
a
+ V
b
→ Laddningen
¨
ar samma f
¨
or alla resistorer i en seriekopplad krets!
Q
C
=
Q
C
1
+
Q
C
2
+ ... +
Q
C
N
⇐⇒
1
C
=
1
C
1
+
1
C
2
+ ... +
1
C
N
10.1.8 Centralt Parallellkoppling av kondensatorer
(Magnus)
Q = Q
1
+ Q
2
C · V
a
b = C
1
V
a
b + C
2
V
a
b + ...C
n
V
a
b
⇐⇒ C = C
1
+ C
2
= ... + C
n
30
10.1.9 Centralt Lagrad energi i en kondensator
(Magnus, boken (24.9))
W =
Q
2
2C
=
1
2
C · V
2
=
1
2
Q · V
W : Lagrad energi (J)
Q : Laddning (C)
C : Kapacitans (F)
V : Sp
¨
anning i kretsen (V)
10.1.10 Elektrisk energidensitet i vakuum
(energi per enhetsvolym i ytan mellan plattorna i en plattkondensator) (boken,
24.11)
u =
1
2
ϵ
0
E
2
u : Elektrisk energidensitet i vakuum
ϵ
0
: Konstant
E : Styrka av elektriskt f
¨
alt (N/C)
10.1.11
Centralt Tidskonstant (transistent tillst˚and) (RC-
krets)
(boken, 26.14)
τ = RC
10.1.12 Centralt Uppladdning av kondensator (RC-krets)
(Kollin, fysikasse)
(notera: se nedan f
¨
or en f
¨
orenkling av detta samband)
U(t) = U
0
(1 − e
−
t
τ
)
(boken, 26.12)
Notera: Cϵ = Q
slutgilltig
, det vill s
¨
aga den slutgilltiga laddningen av konden-
satorn kan ges av detta uttryck.
q = Cϵ(1 − e
−
t
τ
)
q : Kondensatorladdning (C)
C : Kapacitans (F)
ϵ : EMF (V)
t : Tid sedan start av uppladdning (s)
R : Resistans (ohm)
(boken, 26.13, Magnus)
i =
dq
dt
=
ϵ
R
(e
−
t
τ
) = I
0
e
−
t
τ
i : Str
¨
om (A)
C : Kapacitans (F)
ϵ : EMF (V)
t : Tid sedan start av uppladdning (s)
R : Resistans (ohm)
I
0
: Ursprunglig str
¨
om (epsilon/R) (A)
31
10.1.13 F
¨
orenkling Kapacitans fr˚an uppladdning
C =
t
Rln(1 −
V
V
0
)
C : Kapacitans
t : Antal passerade sekunder
R : Resistans i kretsen
V : Sp
¨
anning efter t sekunder
V
0
: Ursprunglig sp
¨
anning
10.1.14 Centralt Urladdning av kondensator (RC-krets)
(Kollin, fysikasse) (se nedan f
¨
or en f
¨
orenkling utifr˚an detta samband)
U(t) = U
0
e
−
t
τ
(nedanst˚aende formler
¨
ar fr˚an boken)
q(t) = Q
0
e
−
t
τ
q : Kondensatorladdning (C)
C : Kapacitans (F)
ϵ : EMF (V)
t : Tid sedan start av uppladdning (s)
R : Resistans (ohm)
Q
0
: Ursprunglig kodensatorladdning (C)
i(t) =
−Q
0
τ
(e
−
t
τ
) = I
0
e
−
t
τ
i : Str
¨
om (A)
C : Kapacitans (F)
ϵ : EMF (V)
t : Tid sedan start av uppladdning (s)
R : Resistans (ohm)
Q
0
: Ursprunglig kodensatorladdning (C)
I
0
: Ursprunglig laddning (-Q0/RC (-Q0/Tau) (C)
(Notering ang˚aende ovanst˚aende formel: om du har att Q
0
= 0, men
det finns en str
¨
om i kretsen fr˚an b
¨
orjan (t.ex. fr˚an en sp
¨
anningsk
¨
alla och en
resistans), anv
¨
and den varianten av formeln som inneh˚aller I
0
ist
¨
allet!)
10.1.15 F
¨
orenkling Kapacitans fr˚an urladdning
(The Organic Chemistry Tutor, Youtube, l
¨
osningsf
¨
orslag f
¨
or gammal kontroll-
skrivning)
C =
−t
Rln(
V
V
0
)
C : Kapacitans
t : Antal passerade sekunder
R : Resistans i kretsen
V : Sp
¨
anning efter t sekunder
V
0
: Ursprunglig sp
¨
anning
10.2 Sp
¨
anning, str
¨
om och resistans
10.2.1 Teori
Ohms lag
¨
ar den allm
¨
ana lagen f
¨
or att r
¨
akna ut sp
¨
anning, str
¨
om eller resi-
stans.
32
Kretsf
¨
orenkling: Komplicerade kretsar kan ers
¨
attas med ers
¨
attningsresistanser
f
¨
or att g
¨
ora de enklare.
Viktiga samband:
• Kirchoffs sp
¨
anningslag (se 10.2.3)
• Kirchoffs str
¨
omlag (se 10.2.4)
• Seriekoppling: str
¨
ommen
¨
ar densamma
¨
over varje inkopplad kompo-
nent. Se 10.2.7.
• Parallellkoppling: sp
¨
anningen
¨
ar densamma
¨
over varje inkopplad kom-
ponent. Se 10.2.5.
Potentialvandring: Applicering av Kirchoffs str
¨
omlag som bygger p˚a att
man delar upp en krets i “loopar“ och st
¨
aller upp samband f
¨
or str
¨
ommar och
potential
¨
andringar. Exempel:
Figur 6: Exempel p˚a loopar
F
¨
oljande samband finns:
I
1
R
1
+ I
3
R
3
− E
1
− E
2
= 0 (Loop A)
I
2
R
2
+ I
3
R
3
− E
2
− E
3
= 0 (Loop B)
I
1
+ I
2
= I
3
(Nod C)
Se sidorna 878-879 f
¨
or strategi och formler f
¨
or potentialvandring.
Elektromotorisk kraft/EMF
¨
ar ett m˚att p˚a den hypotetiska sp
¨
anningen
som t.ex. ett batteri kan lagra. Men detta p˚averkas ofta av intern resistans,
som g
¨
or att den reella sp
¨
anningen som man f˚ar ut i sj
¨
alva verket blir l
¨
agre.
Detta kallas terminal voltage.
10.2.2 Centralt Ohms lag
V = RI
V : Sp
¨
anning (V)
R : Resistans (ohm)
I : Str
¨
om (A)
33
10.2.3 Centralt Kirchoffs sp
¨
anningslag
• Summan av alla potential
¨
andringar genom en sluten krets
¨
ar noll.
X
V = 0
10.2.4 Centralt Kirchoffs str
¨
omlag
• Summan av alla str
¨
ommar som flyter in mot en grenpunkt
¨
ar lika med
de str
¨
ommar som flyter ut fr˚an grenpunkten.
X
I = 0
10.2.5 Centralt Samband i parallellkoppling
U
¨
ar den samma
¨
over varje inkopplad komponent
10.2.6 Centralt Resistans i parallellkoppling
1
R
=
1
R
1
+
1
R
2
+ ... +
1
R
n
10.2.7 Centralt Samband i seriekoppling
I
¨
ar den samma
¨
over varje inkopplad komponent
10.2.8 Centralt
Potentialvandring
(Boken, 26.8)
• Genom emf/sp
¨
anningsk
¨
alla: Fr˚an minus till plus: +ϵ. Fr˚an plus till
minus: −ϵ
• Genom resistor: Motsatt str
¨
omriktningen: +IR. L
¨
angs med str
¨
omriktningen:
−IR
10.2.9
Centralt Kretssymboler
A
Ammeter
V
Voltm
¨
atare
+ −
n V
Batteri Resistor
∗∗
Resistor
††
Kondensator
Spole
∗∗
(europeiskt skrivs
¨
att)
††
(amerikanskt skrivs
¨
att)
34
10.2.10 Str
¨
omriktning i krets
Str
¨
ommen g˚ar fr˚an positiv till negativ pol (men elektronerna fr˚an negativ till
positiv pol)
10.2.11 Ampere- och voltm
¨
atare
En ideal ammeter har ingen intern resistans. En ideal voltmeter har o
¨
andlig
intern resistans.
En ammeter ansluts i serie i kretsen man m
¨
ater str
¨
om i. En voltmeter ansluts
parallellt till kretsen man m
¨
ater sp
¨
anning i.
10.2.12 Str
¨
om
(boken, 25.2)
I =
dq
dt
= n|q|v
d
A
dq
dt
: Hastighet d˚a laddning fl
¨
odar genom omr˚ade
n : Koncentration av partiklar(m
−3
)
v
d
: Drifthastighet
A : Tv
¨
arsnittsarea(m
2
)
q : Laddning(C)
Notera att 1A = 1C/s.
10.2.13 Elektrisk str
¨
omt
¨
athet (magnitud)
(boken, 25.3)
J =
I
A
= n|q|v
d
10.2.14 Elektrisk str
¨
omt
¨
athet (vektor)
(boken, 25.4)
J = n|q|v
d
10.2.15 Celsius till Kelvin
Denna konvertering
¨
ar relevant f
¨
or t.ex. resistivitet.
T
K
= T
C
+ 273.5
10.2.16 Centralt Resistivitet
(Notera: se
¨
aven formeln 10.2.19) (Notera: p˚a sidorna 845-846 i boken finns det
tabeller med resistivitetsv
¨
arden samt koefficienter f
¨
or olika material)
ρ =
E
J
ρ : Resitivitet (Vm/A=Ohm/M)
E : Elektriskt f
¨
altstyrka i materialet (N/C)
J : Str
¨
omt
¨
athet orsakat av elektriska f
¨
altet
35
10.2.17 Centralt Resistivitet beroende p˚a temperatur
(f
¨
or en metallisk ledare) (boken, 25.6)
ρ(T ) = ρ
0
(1 + α(T − T
0
))
ρ(T ) : Resistivitet vid temperatur T
ρ
0
: Resistivitet vid temperatur T0.
T : Aktuell temperatur (K)
T
0
: Referenstemperatur (K)
α : Temperaturkoefficient f
¨
or resistivitet
10.2.18 Centralt Konduktivitet
(Magnus) Konduktivitet
¨
ar inversen av resistivitet:
σ =
1
ρ
=
J
E
= ...
10.2.19 Resistans f
¨
or en ledare
(Boken)
R =
V
I
=
ρL
A
ρ : Resistivitet av material
L : L
¨
angd av ledare (m)
A : Tv
¨
arsnittsarea av ledare (m2)
R : Resistans (ohm)
10.2.20 Centralt Elektromotorisk kraf: resulterande sp
¨
anning
p.g.a. intern resistans
(Boken)
V
ab
= ϵ − Ir
V
ab
: Verklig sp
¨
anning mellan A och B
ϵ : Elektromotorisk kraft (V)
I : Str
¨
om (I)
r : Intern resistans (Ohm)
ϵ − Ir = IR
r : Instern resistans (ohm)
R : Resistans i extern krets (ohm)
Snygg omskrivning:
I =
ϵ
R + r
10.2.21 Centralt Elektrisk effekt
(Magnus)
P =
dW
dq
= V I =
V
2
R
= RI
2
36
10.3 Coaxkabel/koakxialkabel
En coaxialkabel best˚ar av ett yttre isolerande h
¨
olje och ett inre ledande h
¨
olje,
med ett dialektrikum (dialektriskt material) emellan.
Figur 7: Illustration av en koaxialkabel.
Notera: I formlerna nedan anv
¨
ands f
¨
oljande beteckningar:
(
r
a
: Y tterradien
r
b
: Innerradien.
10.3.1 Resistans i en koaxialkabel
(f
¨
orberedelsevideos inf
¨
or RC-labben)
R
tot
=
r
a
r
b
10.3.2 Kapacitans i en koaxialkabel
(f
¨
orberedelsevideos inf
¨
or RC-labben)
C = 2πϵ
0
·
L
ln(
r
a
r
b
)
10.3.3 RC-konsant f
¨
or en coaxkabel
τ = (Max bitrate)
−1
τ =
R
1
+ R
0
2
C
t.ex. om det
¨
ar givet att man vill ha ‘1GBit‘ s˚a
¨
ar Max bitrate = 10
9
.
10.3.4 Kapacitans av en koaxialkabel
Kapacitansen kan ber
¨
aknas med hj
¨
alp av formeln 10.1.6. H
¨
ar
¨
ar r
a
och r
b
ytterradien respektive innerradien.
10.3.5 Ers
¨
attningskretsar f
¨
or koaxialkabel
Koaxialkablar kan ers
¨
attas med f
¨
oljande kretsar:
37
Figur 8: En krets som kan integre-
ras
¨
over. Att kunna g
¨
ora detta
ing˚ar d
¨
aremot inte i kursen.
Figur 8: En f
¨
orenklad version av
kretsen intill.
38
11 Magnetostatik
11.1 H
¨
ogerhandsregler
H
¨
ogerhandsregeln FBI-regeln
H
¨
oger hand f
¨
or positiv partikel,
v
¨
anster hand f
¨
or negativ partikel
H
¨
ogerhandsregel f
¨
or kryssprodukt
(G
¨
oran Manneberg)
Vriden h
¨
ogerhandsregel (Notera att
denna regel fungerar d˚a q
¨
ar positiv,
annars blir allt˚at motsatt h˚all)
Mer om vridna h
¨
ogerhandsregeln:
• Vid magnetf
¨
alt och r
¨
orelseriktning: se Vid magnetf
¨
alt och str
¨
om.
39
Det
¨
ar samma sak.
• Vid magnetf
¨
alt och str
¨
om: ha tummen i str
¨
ommens riktning s˚a g˚ar
¨
ovriga fingrar i magnetf
¨
altets riktning.
• Vid till
¨
ampning av Amperes lag: S
¨
att de
¨
ovriga fingrarna ˚at det
h˚allet man “g˚ar“i Ampereloopen s˚a ges str
¨
omriktningen av tummen.
11.2 Symbolindikatorer f
¨
or magentf
¨
alt
11.3
¨
Ovrig inledande teori
11.3.1 Centripetalkraft
(har ej med magnetf
¨
alt att g
¨
ora, men
¨
ar relevant)
F
c
=
mv
2
r
= mrω
2
m : Massa (kg)
v : Hastighet (m/s)
r : Cirkel-/banradie (m)
ω : Vinkelhastighet (rad/s)
11.3.2 Vinkelhastighet
ω =
v
r
=
α
T
ω : Vinkelhastighet (rad/s)
v : Hastighet (m/s)
r : Cirkelradie (m)
α : Vinkel (rad)
T : Omloppstid/period (s)
11.3.3 RPM till vinkelhastighet
(Max Yan)
ω =
n · 2π
60
n : Antal RPM
ω : Vinkelhastighet (rad/s)
40
11.3.4 Frekvens fr˚an antalet sekunder
f =
1
2t
f : Frekvens (Hz)
t : Antal sekunder (s)
11.3.5 Centralt Grundl
¨
aggande: arbete
Arbete = Kraft · V
¨
ag
W = F · L
11.3.6 Centralt Grundl
¨
aggande: arbete (utifr˚an effekt)
W =
P
v
11.3.7 Centralt Grundl
¨
aggande: Newtons andra lag: kraft
fr˚an massa och acceleration
Summan av alla krafter som verkar p˚a ett objekt
¨
ar
X
F = m · a
11.3.8 Centralt Grundl
¨
aggande: Newtons andra lag: i ro-
tationsform
Applicerat till ett roterade objekt f˚ar vi
X
τ = I
tot
α
α : Aktuell vinkel (rad)
Viktigt! d
¨
ar I
tot
¨
ar summan av alla individuella tr
¨
ogheter i det roterande ob-
jektet: I = m·r
2
11.4 Magnetf
¨
alt
F
¨
or magnetf
¨
alts enhet T g
¨
aller att
1T = 1N/mA
(1 Newton per meter Ampere)
11.4.1 Teori
Det magnetiska fl
¨
odet genom en yta
¨
ar ett m˚att p˚a hur mycket magnetf
¨
alt
som passerar per areaenhet.
Laddade partiklar i magnetf
¨
alt uts
¨
atts f
¨
or en magnetisk kraft. Om de
infaller vinkelr
¨
att mot magnetf
¨
altet s˚a kommer de r
¨
ora sig i en cirkelbana. Om
de inte g
¨
or det s˚a kommer de r
¨
ora sig i en spiralbana (t
¨
ankt tredimensionellt
allts˚a). Samma kraft kan skrivas om till formeln f
¨
or magnetisk kraft p˚a en
ledare.
Biot-Savarts lag ger magnetf
¨
altet i en viss punkt p˚a grund av en liten bit
av en ledare d
¨
ar det g˚ar str
¨
om igenom.
41
Magnetiska dipoler: Det finns ingen magnetisk monopol, utan alla magneter
har en nord och en sydpol. Magnetiska dipoler
¨
ar i princip ett fancy namn f
¨
or
att uttrycka namnet p˚a en magnet. Magnetiskt dipolmoment ger styrkan av
magnetiska dipoler.
Magnetiskt vridmoment
¨
ar inte samma sak som ett magnetiskt dipolmo-
ment, utan
¨
ar det vridmoment som en partikel eller ledare uts
¨
atts f
¨
or n
¨
ar den
r
¨
or sig i ett magnetf
¨
alt.
Gauss sats f
¨
or magnetiska f
¨
alt s
¨
ager att summan av magnetiska fl
¨
oden
genom vilken sluten yta som helst
¨
ar noll.
Amperes lag anv
¨
ander ocks˚a begreppet sluten yta och ger en viss formel f
¨
or
den omslutna str
¨
ommen inuti en sluten yta. Vid utr
¨
akning av detta v
¨
aljer man
en amperian loop, som
¨
ar en area som man omsluter ytan med. Se ovan f
¨
or
h
¨
ogerhandsregler relaterade till amperian loops. Maxwells till
¨
agg tas upp av
Khan Academy men inte av f
¨
orel
¨
asarna.
Permeabilitet
¨
ar ett m˚att p˚a hur starkt magnetf
¨
alt som ett material kan
skapa. Det finns tre typer av magnetiska material: diamagnetiskt (inte mag-
netiskt), paramagnetiskt (lite magnetiskt) och ferromagnetiskt (j
¨
amf
¨
orelsevis
starkt magnetiskt).
Induktion: N
¨
ar ett magnetf
¨
alt
¨
andras s˚a induceras en sp
¨
anning. Lenz lag:
Den sp
¨
anning som induceras i en krets kommer att vilja motverka yttre f
¨
or
¨
andringar.
Se formeln f
¨
or n˚agra exempel p˚a detta.
Faradays lag s
¨
ager att en
¨
andring i magnetiskt fl
¨
ode orsakar en inducerad
sp
¨
anning,
¨
aven kallad elektromotorisk kraft.
11.4.2 Centralt Magnetiskt fl
¨
ode
(Teo, Max Yan)
ϕ
B
=
¨
Bcos(θ)dA = BAcos(θ)
Φ
B
: Magnetiskt fl
¨
ode (Wb)
θ : Vinkel mellan areavektor och magnetf
¨
alt
11.4.3 Centralt Maxwells lag: Summan av magnetiskt
fl
¨
ode
Maxwells lag: summan av det magnetiska fl
¨
odet i en sluten yta
¨
ar 0.
ϕ
B
=
‹
BdA = 0
11.4.4 Centralt Magnetisk kraft p˚a en laddad partikel
Partiklar i magnetf
¨
alt uts
¨
atts f
¨
or en magnetisk kraft.
→ Fr˚agas det om partikelns acceleration? Anv
¨
and Newtons andra lag!
F = m · a
42
Storlek: (boken, 27.1)
F
m
= |q|vBsin(θ)
q : Laddning (C)
v : Hastighet (m/s)
B : Magnetf
¨
alt (T)
θ : Vinkel mellan v och B
Vektor: (boken, 27.2)
F
m
= qv ×
B
Konstanten µ
0
V
¨
ardet av konstanten µ
0
¨
ar f
¨
oljande:
µ
0
= 4π · 10
−7
se
¨
aven b
¨
orjan av detta formelblad.
Enheten G (Gauss)
Om enheten Gauss f
¨
orekommer s˚a kan man konvertera denna till Tesla (T )
genom f
¨
oljande samband:
1G = 10
−4
T
Jordens magnetf
¨
alt
Styrkan av jordens magnetf
¨
alt
¨
ar ungef
¨
ar 0.5G, vilket konverterat till Tesla
(T ) blir
10
−4
2
.
Jordmagnetiska f
¨
altet har en infallsvinkel. Detta
¨
ar kopierat fr˚an mitt formel-
blad i gymnasiet och kanske
¨
overkurs.
F
¨
altkomposanterna:
B
h
= B
j
· cos(α) B
v
= B
j
· sin(α)
Jordmagnetiska f
¨
altets inklination α i Sverige
¨
ar 71
◦
.
11.4.5 Centralt Biot-Savarts lag: magnetf
¨
alt i en punkt
p.g.a. en “str
¨
omsnutt“ fr˚an en ledare
(boken, 28.6)
Notera att denna lag endast g
¨
aller p˚a ett element av en ledning.
Storlek: (Khan Academy)
dB =
µ
0
I
4π
·
dlsin(θ)
r
2
(θ f˚as enligt enligt f
¨
oljande:
43
)
Vektorform: (Max Yan)
dB =
µ
0
I
4π
·
dl × ˆr
r
2
dB : Magnetf
¨
alt i punkten
µ
0
: Konstant
I : Str
¨
ommen
dl : L
¨
angden i
¨
ogonblicket
ˆr : Riktning av avst˚andet
r : Avst˚andet
alternativ form (r = r · ˆr)
dB =
µ
0
I
4π
·
dl × r
r
3
dB : Magnetf
¨
alt i punkten
µ
0
: Konstant
I : Str
¨
ommen
dl : L
¨
angden i
¨
ogonblicket
r : Vektor av avst˚andet
r : Avst˚andet
11.4.6 F
¨
orenkling Biot-Savarts lag: Magnetf
¨
alt fr˚an en
cirkul
¨
ar str
¨
omslinga eller en kort spole p˚a ett visst av-
st˚and
(G
¨
oran Manneberg)
B = N ·
µ
0
IR
2
2r
3
B : Magnetf
¨
alt (T)
N : Antal varv (om applicerbart)
I : Str
¨
om (I)
R : Radie av cirkul
¨
ar str
¨
omslinga (m)
r : Avst˚and till cirkul
¨
ar str
¨
omslinga (m)
11.4.7 Centralt BIL: Magnetisk kraft p˚a en elektrisk le-
dare i ett magnetf
¨
alt
Storlek:
(i ett homogent magnetf
¨
alt)
(G
¨
oran Manneberg)
F
m
= BIl · sin(θ)
F
m
: Magnetisk kraft (N)
B : Magnetf
¨
alt (T)
I : Str
¨
om (A)
l : Ledarens l
¨
angd (m)
θ : Vinkel mellan r
¨
orelseriktning och elektriskt f
¨
alt
Vektor:
(Max Yan)
dF
m
= I
dl ×
B
dF
m
: Magnetisk kraft
I : Str
¨
om genom ledare
dl : L
¨
angd (i str
¨
ommens riktning)
B : Magnetf
¨
alt
44
11.4.8 Centralt Kraft mellan tv˚a paralella, l˚anga raka
ledare
(Khan Academy, boken, 28.11 (boken har lite andra beteckningar dock))
(per meter ledare)
→ Notera att denna formel kommer fr˚an den klassiska BIL-formeln!
F
1
L
1
=
µ
0
|I
1
||I
2
|
2πd
=
F
2
L
2
F
1
: Kraft fr˚an ledare 1 (N)
F
2
: Kraft fr˚an ledare 2 (N)
L
1
: L
¨
angd av ledare 1 (m)
L
2
: L
¨
angd av ledare 2 (m)
I
1
: Str
¨
om i ledare 1 (A)
I
2
: Str
¨
om i ledare 2 (A)
d : Avst˚and mellan ledarna (m)
→ Notera: Om str
¨
ommen i tv˚a ledare g˚ar ˚at samma h˚all, s˚a attraheras
de.
Om str
¨
ommen i tv˚a ledare g˚ar ˚at motsatt h˚all, s˚a repelleras de.
11.4.9 Magnetf
¨
altet i en punkt p˚averkat av magnetf
¨
altet fr˚an
flera ledare
(fr˚an mitt formelblad i gymnasiet, ta med en nypa salt!)
(
Vid lika str
¨
ommar ˚at motsatt h˚all:B
P
= B
1
+ B
2
Vid olika str
¨
ommar ˚at samma h˚all:B
P
= B
1
− B
2
11.4.10 Centralt Magnetiskt dipolmoment
(Notera: fler formler finns i boken, sida 934)
Storlek:
(Khan Academy)
m = N IA
m : Magnetiskt dipolmoment (Am2)
I : Str
¨
om (A)
A : Area (I)
Vektor:
(Max Yan)
M = N IAˆn
m : Dipolmomentet
I : Str
¨
om (A)
A : Ytans area (m2)
ˆn : Enhetsvektor
Notera: enhetsvektorn ˆn f˚as genom (“Vriden h
¨
ogerhandsregel“) (se ovan)
(f
¨
or en cirkul
¨
ar yta, anv
¨
and d˚a till exempel:
A = (πr
2
)
)
45
11.4.11 Centralt Energi fr˚an magnetiskt dipolmoment
Storlek: (boken, 27.27)
U = −mBcos(θ)
U : Potentialenergi (J)
m : Magnetiskt dipolmoment (Am2)
B : Magnetf
¨
alt (T)
θ : Vinkel mellan m och B
Vektor: (boken, 27.27)
U = −m ·
BU = −mBcos(θ)
U : Potentialenergi (J)
m : Magnetiskt dipolmoment (Am2)
B : Magnetf
¨
alt (T)
11.4.12 Magnetiskt dipolmoment fr˚an en r
¨
orlig elektron (“Or-
bital magnetic moment“)
(Khan Academy)
M
O
= −
eL
2m
e
vR
(L = m
e
vR)
(Notera:
¨
ar laddningen positiv, blir dipolmomentet positivt.)
11.4.13 Centralt Magnetiskt vridmoment p˚a en str
¨
omf
¨
orande
ledare/slinga i ett homogent B-f
¨
alt
→ Det
¨
ar denna princip som ligger bakom elmotorer!
Notera: f
¨
or m, se 11.4.10.
Notera: i fr˚agor relaterat kring dessa kanske de fr˚agar om acceleration och
hastighet. Is˚afall, kolla ist
¨
allet p˚a formeln ang˚aende energi. 11.4.11
Storlek: (Khan Academy)
τ = mBsin(θ)
m : Dipolmoment (Am2)
Vektor:
(Max Yan)
τ = m ×
B
m : Dipolmoment
11.4.14 Centralt Gauss sats f
¨
or magnetiska f
¨
alt
(Max Yan) Summan av alla magnetiska fl
¨
oden genom vilken sluten yta som
helst
¨
ar lika med noll.
‹
B ·
ds = 0
46
11.4.15 Centralt Amperes lag
(Max Yan, boken, 28.20)
˛
B ·
dl = µ
0
· I
omsluten
B : Magnetf
¨
alt
dl : L
¨
angdsegment
µ
0
: Magnetisk konstant
I : Omsluten laddning
11.4.16 Maxwells till
¨
agg till Amperes lag
(Khan Academy)
¨
Aven inducerad str
¨
om “displacement current“ beh
¨
ovs r
¨
aknas med i vissa fall!
(detta har inte tagits upp p˚a f
¨
orel
¨
asningarna s˚a jag
¨
ar os
¨
aker p˚a hur relevant
detta
¨
ar eller om man beh
¨
over r
¨
akna med det)
˛
B·
dl = µ
0
·(I
omsluten
+ϵ
0
dΦ
E
dt
)
B : Magnetf
¨
alt
dl : L
¨
angdsegment
µ
0
: Magnetisk konstant
I : Omsluten laddning
dΦ
E
dt
: Momentan
¨
andring av inducerat elektriskt fl
¨
ode
11.4.17 Linj
¨
ar magnetisering
(boken, 28.28) Ett m˚att p˚a det magnetiska dipolmomentets styrka per enhets-
area.
M =
m
tot
V
M : Magnetisering (A/m)
m
tot
: Totalt magnetf
¨
altsmoment (Am2)
V : Materialets volym (m3)
(Max Yan)
M = χ
m
H
11.4.18 Magnetisk f
¨
altstyrka genom magnetiskt material
(Max Yan) Den magnetiska f
¨
altstyrkan betecknas H och
¨
ar ett m˚att p˚a mag-
netf
¨
alt per enhetsarea. Storlek:
(Brittanica i samverkan med Google Bard)
H =
B
µ
0
−
M
µ
0
Vektor:
H =
B
µ
0
−
M
µ
0
H : Magnetisk f
¨
altstyrka (A/m)
B : Magnetf
¨
alt
M : Magnetisering
47
11.4.19 Summan av magnetisk f
¨
altstyrka i fri rymd
(Max Yan)
‹
H ·
dl = I
Ang˚aende permeabilitet: Det finns en tabell i boken f
¨
or olika material p˚a
sidan 966, tabell 28.1.
11.4.20 F
¨
orenkling Magnetisk f
¨
altstyrka inuti solenoid
(Google Bard)
H = µ
0
N
L
· I
11.4.21 Centralt Relativ permeabilitet
(Max Yan, boken (28.31) (men andra beteckningar & ˚at annat h˚all))
Relativ permeabilitet r
¨
aknas ut av att 1 adderas till konstanten χ
m
.
µ
r
= 1 + χ
m
Enligt Khan Academy s˚a ges det totala magnetf
¨
altet inuti ett magnetiskt
material av att multiplicera deta med “vakuum-magnetf
¨
altet“):
B = µ
r
B
0
...och det inducerade magnetf
¨
altet ges genom:
B
in
= χ
B
0
11.4.22 Permeabilitet
(Max Yan)
µ = µ
0
µ
r
11.4.23 Kategorier av magnetiska material
(Max Yan)
Materialkategori Samband
Diamagnetiskt µ
r
≲ 1, χ
m
< 0
Paramagnetiskt µ
r
≳ 1
Ferromagnetiskt µ
r
>> 1
11.4.24 Curietemperatur
(Khan Academy) Curietemperaturen
¨
ar den temperatur d
¨
ar ett ferromagne-
tiskt material f
¨
orlorar sina starka magnetiska egenskaper och ist
¨
allet blir para-
magnetiska.
48
Gl
¨
om inte: Anv
¨
and relativa permeabiliteten i formlerna nedan ist
¨
allet f
¨
or
µ
0
i de fall d
¨
ar vi har ett paramagnetiskt eller ferromagnetiskt material (dvs.
material som
¨
ar magnetiska).
Men
¨
overkomplicera inte saker och ting, finns det inte i en tabell s˚a
¨
ar det
f
¨
ormodligen µ
0
man ska r
¨
akna med :)
Notera: Se tabell p˚a sida 970 i boken f
¨
or fler fall, fler formler, och mer konkreta
f
¨
orklaringar! Dubbelkolla med denna ifall du
¨
ar os
¨
aker p˚a vilken formel du ska
anv
¨
anda :)
11.4.25 Centralt Magnetf
¨
altet i/n
¨
ara en rak ledare, i en
Toroidspole, eller i mitten av en kondensator
(Mitten av en kondensator: k
¨
alla Khan Academy)
(t.ex. om l
ledare
>> r
ledare
om vi har en cirkul
¨
ar ledare.) Notera
¨
aven att
solenoider enligt Wikipedia kan betraktas som l˚anga, raka ledare.
B =
µ
0
IN
2πr
B : Magnetf
¨
alt (T)
N : Antal varv str
¨
omslingor
I : Str
¨
om (A)
r : Radie (m)
Radien
¨
ar avst˚andet fr˚an ledaren, alt. str
¨
omslingans radie om du s
¨
oker ef-
ter magnetf
¨
altet i mitten av den. Om ledaren inte
¨
ar o
¨
andligt l˚ang: (boken,
28.8)
B =
µ
0
I
4π
·
2a
x
√
x
2
+ a
2
a : Ledarens l
¨
angd
x : Avst˚and fr˚an mittpunkten av ledaren till m
¨
atpunkt
Alternativ version: om du vill ha magnetf
¨
altet genom ett cirkelsegment med
mindre radie inuti ledaren:
(Khan Academy (se
¨
aven boken, sida 970))
B =
µ
0
Ir
m
2πr
B : Magnetf
¨
alt (T)
N : Antal varv str
¨
omslingor
I : Str
¨
om (A)
r : Radie av str
¨
omslingorna/ledaren (m)
r
m
: Radie av det mindre segment som vi vill ha magnetf
¨
altet genom (m)
11.4.26 Centralt Magnetf
¨
altet i mitten av en kort spole/-
solenoid/magnetf
¨
altet i mitten av N st str
¨
omslingor
(Boken, 28.17, Max Yan)
(finns ett snyggt l
¨
osningsf
¨
orslag + formel n
¨
ar man har vinklar och grejer i
boken, sida 959, avsnitt 28.3)
(kort spole =⇒ spolen har en begr
¨
ansad l
¨
angd (kan inte antas vara o
¨
andligt
l˚ang))
B =
µ
0
NI
l
B : Magnetf
¨
alt (T)
N : Antal varv str
¨
omslingor
I : Str
¨
om (A)
l : L
¨
angd av str
¨
omslingorna (m)
49
(i en cirkul
¨
ar str
¨
omslinga g
¨
aller att l = 2r)
11.4.27 F
¨
orenkling Magnetf
¨
altet p˚a axeln i en cirkul
¨
ar
str
¨
omslinga/spole/N st str
¨
omslingor
(boken, 28.15 respektive 28.18)
B
x
=
µ
0
INa
2
2(x
2
+ a
2
)
3
2
I : Str
¨
om (A)
a : Radie av str
¨
omslingan (m)
x : Avst˚and fr˚an mitten av str
¨
omslingan till uppm
¨
att punkt (m)
11.4.28 Magnetf
¨
alt fr˚an en punktladdning med konstant has-
tighet
(boken, 28.2)
B =
µ
0
4π
qv × ˆr
r
2
B : Magnetf
¨
alt (T)
µ
0
: Konstant
q : Laddning
v : Laddningens hastighet
ˆr : Enhetsvektor mot m
¨
atpunkten
r : Avst˚and fr˚an punktladdning till m
¨
atpunkt
11.4.29 Centralt Magnetisk kraft p˚a partikel i magnetf
¨
alt
(boken, sida 918)
F = |q|vB
11.4.30 Centralt Kraft p˚a partikel i cirkelbana i mag-
netf
¨
alt
(fysik-asse, Khan Academy)
Observera att m
¨
ar partikens massa och inte dipolmomentet!
B =
mv
|q|r
11.4.31 Omloppstid f
¨
or partikel i cirkelbana i magnetf
¨
alt
(Khan Academy)
T =
2πm
qB
11.4.32 Centralt Hastighetsv
¨
aljare f
¨
or elektroner
(boken, sida 918)
Hastighet f
¨
or elektroner som sl
¨
apps igenom:
(boken, 27.13)
v =
E
B
E : Elektriskt f
¨
alt mellan plattor (i hastighetsv
¨
aljaren)
B : Magnetf
¨
alt
50
Ifall elektronerna p˚averkas av en sp
¨
anning mellan tv˚a plattor, “Thomson e/m
experiment“:
Notera: se figur 27.23, sida 918 i boken s˚a att du vet vad du faktiskt r
¨
aknar
p˚a f
¨
or situation!
v =
r
2eV
m
11.5 Induktans
11.5.1 Teori
F
¨
or AC-kretsar r
¨
aknar man ut saker och ting p˚a lite andra s
¨
att. F
¨
or det
f
¨
orsta, s˚a
¨
ar det inte en resistans vi har i kretsen, utan en impedans som
r
¨
aknas ut med en s
¨
arskild formel.
11.5.2 Induktans, huvudformel
(Max Yan)
L =
ϕ
B
I
L : Induktans (H)
ϕ
B
: Magnetiskt fl
¨
ode (Wb)
I : Str
¨
om (A)
• Sj
¨
alvinduktans: orsakas av kretsen sj
¨
alv.
•
¨
Omsesidig induktans: orsakas av andra kretsar och kan r
¨
akna ut en-
ligt:
L =
ϕ
B1
2
I
1
11.5.3 Centralt Lenz lag
(Khan Academy)
Om en sp
¨
anning induceras i en krets genom att det magnetiska fl
¨
odet
¨
andras,
kommer det skapas effekt som f
¨
ors
¨
oker motverka de yttre f
¨
or
¨
andringarna.
Exempel:
• Om magnetf
¨
altet
¨
andras externt (t.ex. minskar) s˚a kommer en str
¨
om
induceras i kretsen som f
¨
ors
¨
oker balansera saker och ting. Om fl
¨
odet
minskar, kommer en str
¨
om induceras i den riktning som g
¨
or att det
totala fl
¨
odet
¨
okar (och vice versa). (Se
¨
aven inskannade anteckningar
l
¨
angst ner i dokumentet)
• Om en ledare r
¨
or sig i ett magnetf
¨
alt med en viss hastighet, kommer det
uppst˚a en kraft i motsatt riktning av hastigheten som f
¨
ors
¨
oker motverka
r
¨
orelsen.
51
11.5.4 Centralt Faradays induktionslag (Elektromotorisk
kraft)
(Max Yan)
→
¨
Andring av magnetiskt fl
¨
ode kan inducera en str
¨
om och d
¨
armed en sp
¨
anning,
EMF (Elektromotorisk kraft).
→ Den elektromotoriska kraften vid en viss tidpunkt kan ges av
¨
andringen av
det magnetiska fl
¨
odet d
¨
ar.
(Notera: man kan
¨
aven anv
¨
anda fl
¨
odet i f
¨
alt mellan tv˚a tidpunkter h
¨
ar f
¨
or att
r
¨
akna ut den genomsnittliga elektromotoriska kraften (
∆Φ
∆t
))
ϵ =
˛
E ·
dl = −N
dϕ
dt
= −NA
dB
dt
ϵ : Elektromotorisk kraft (V)
N : Antal varv i ev. spole/slinga
11.5.5 Elektromotorisk kraft fr˚an elektriskt f
¨
alt
G
¨
aller d˚a elektriska f
¨
altet inte
¨
andras
¨
over en yta
(os
¨
aker k
¨
alla och d
¨
armed os
¨
aker kredibilitet)
ϵ = E · L
11.5.6 Centralt Elektromotorisk kraft i en ledare som r
¨
or
sig genom ett magnetf
¨
alt och som sk
¨
ar magnetf
¨
altets
linje
(Khan Academy, Max Yan)
ϵ =
ˆ
Toppen
Botten
(v ×
F dl) = vBL
ϵ : Elektromotorisk kraft (V)
v : Hastighet i magnetf
¨
alt (m/s)
B : Magnetisk f
¨
altstyrka (T)
L : L
¨
angd av stav/ledare (m)
11.5.7 Elektromotorisk kraft fr˚an induktans
(Max Yan)
ϵ = −L
dI
dt
ϵ : Elektromotorisk kraft (V)
L : Induktans (H)
dI
dt
: Momentan str
¨
om (A)
11.5.8 Lagrad energi i ett magnetf
¨
alt
Storlek:
W
m
=
1
2
B
2
µ
0
· V
Vektor: (Max Yan)
W
m
=
˚
H ·
BdV =
1
2
˚
B
2
µ
dV
52
11.5.9 Magnetisk energi i en spole
W
m
=
1
2
LI
2
W
m
: Magnetisk energi (J)
L : Induktans (H)
I : Str
¨
om (A)
11.5.10
¨
Omsesidig induktans
Generellt uttryck (Max Yan):
M =
Φ
12
I
2
¨
Omsesidig induktans mellan tv˚a spolar (boken, 30.5):
Notera: jag har f
¨
ortydligat extra mycket h
¨
ar nere. ϕ
2
¨
ar fl
¨
odet genom spole
2 “med avseende“ p˚a spole 1, dvs. man b
¨
or r
¨
akna med magnetf
¨
altet fr˚an den
spolen ist
¨
allet! Se boken sida 1017, exempel 30.1.
M =
N
2
· B
1
· A
=ϕ
2
I
1
=
N
1
· B
2
· A
=ϕ
1
I
2
Inducerad sp
¨
anning fr˚an
¨
omsesidig induktans (boken, 30.4 samt LibrePhy-
sics):
(
V
1
= −M
dI
2
dt
= −N
1
dΦ
dt
V
2
= −M
dI
1
dt
= −N
2
dΦ
dt
11.5.11 Transformator
En transformator best˚ar av tv˚a slingor med en k
¨
arna med h
¨
og permeabilitet
som m
¨
ojligg
¨
or att man kan transformera en sp
¨
anning till en annan. (se figur
f
¨
or beteckningar)
Figur 9: En transformator.
(
V
1
= N
1
dΦ
dt
V
2
= N
2
dΦ
dt
53
Samband mellan sp
¨
anningar
V
1
V
2
=
N
1
N
2
Samband mellan str
¨
ommar
N
1
I
1
= N
2
I
2
eller
I
1
I
2
=
N
2
N
1
Effekten → Effekten som vi f˚ar in
¨
ar densamma som vi f˚ar ut.
P = V
1
I
1
= V
2
I
2
H-f
¨
altet (Max Yan) Eftersom µ
r
→ ∞, d˚a H =
B
µ
→ 0
11.6 AC-kretsar
11.6.1 Teori
I AC-kretsar
¨
andras sp
¨
anningen
¨
over tid. Ist
¨
allet f
¨
or resistans, m
¨
ater vi im-
pedans.
11.6.2 Centralt F
¨
orskjutningar i seriekopplad AC-krets
(Powerpoint, f
¨
orel
¨
asning 12)
1. Resistor: sp
¨
anningen och str
¨
ommen ligger i fas.
2. Induktor: sp
¨
anningen ligger 90
◦
f
¨
ore str
¨
ommen.
3. Kodensator: sp
¨
anningen ligger 90
◦
efter str
¨
ommen.
11.6.3 Fasordiagram
F
¨
or att analysera f
¨
orh˚allandet mellan olika sp
¨
anningar och str
¨
ommar kan man
rita upp ett fasordiagram.
→ Bra illustrationer i boken och en h
¨
ar del h
¨
arledningar f
¨
or “klas-
siska“ fasordiagram: Se boken, sida 1053.
Seriekoppling
I en seriekoppling s˚a
¨
ar det man ritar fasorer
¨
over sp
¨
anningen. Det
¨
ar sp
¨
anningen
¨
over varje komponent som
¨
ar i ofas. F
¨
or att f˚a ett uttryck f
¨
or den totala
sp
¨
anningen kan man anv
¨
anda sig av trigonometri n
¨
ar man summerat ihop allt
till en triangel, se bild nedan.
54
Figur 10: Exempel p˚a fasordiagram f
¨
or en seriekopplad RLC-krets.
Parallellkoppling
I en parallellkoppling
¨
ar det ist
¨
allet str
¨
ommen vars fas skiljer sig med varand-
ra.
Se exempel p˚a fasordiagram nedan:
Figur 11: Exempel p˚a fasordiagram f
¨
or en parallellkopplad RLC-krets.
Serie- och paralellkoppling
Om du exempelvis har en komponent som
¨
ar parallellkopplad s˚a inkluderar du
dess str
¨
ommar i fasordiagrammet f
¨
or seriekoppling. I exemplet nedan s˚a har vi
en parallellkopplad kondensator och resten
¨
ar seriekopplat. D
¨
armed ritar vi in
55
I
P
(parallellkopplade kondensatorns str
¨
om) (fr˚an l
¨
osningsf
¨
orslag till tentamen
2022-01-17):
Figur 12: Exempel p˚a fasdiagram f
¨
or en seriekopplad RLC-krets med en
parallellkopplad kondensator
11.6.4 Sp
¨
anning och str
¨
om i AC-krets
Sp
¨
anning:
Sp
¨
anningen kan ligga bakom str
¨
ommen beroende p˚a komponent. Se nedan f
¨
or
olika f
¨
orskjutningar.
Momentan sp
¨
anning
(boken, 31.5)
v(t) = V cos(ωt + ϕ)
V : Toppsp
¨
anning (V)
ω : Vinkelhastighet (rad/s)
ϕ : F
¨
orskjutning (se nedan)
Medelsp
¨
anning (RMS)
(boken, 31.4)
V
RMS
=
V
√
2
Str
¨
om:
56
Momentan str
¨
om
(boken, 31.2)
i(t) = Icos(ωt)
Medelstr
¨
om (RMS)
(boken, 31.4)
I
RMS
=
I
√
2
11.6.5 Impedans
Impedans
¨
ar det ekvivalenta med resistans i en AC-krets.
Z =
p
R
2
+ (X
L
− X
C
)
2
D
¨
ar X
L
ber
¨
aknas enligt
Impedans f
¨
or en induktor
X
L
= ωL
Impedans f
¨
or en kondensator
X
C
=
1
ωC
Resonans/Reaktiv induktans
den punkt d˚a f
¨
oljande samband g
¨
aller:
X
C
= X
L
=⇒ Z = R
I en RCL, LC- eller RC-krets kan denna frekvens ber
¨
aknas av
ω =
1
√
LC
=⇒ f
R
=
1
2π
√
LC
Fasvinkel i seriekopplad AC-krets
(boken, 31.24)
tan(ϕ) =
X
L
− X
C
R
→ Se
¨
aven nedan f
¨
or fasvinklar f
¨
or komponenter i AC-kretsar!
57
11.6.6 Ohms lag i AC-kretsar
V
tot
= I · Z
11.6.7 Resistor i AC-krets
(Powerpoints, f
¨
orel
¨
asning 11) Sp
¨
anning: Str
¨
ommen
¨
ar i fas med sp
¨
anningen.
i(t) = i
0
cos(ωt)
i
0
: Str
¨
ommens toppv
¨
arde (A)
i : Momentan str
¨
om (A)
Ber
¨
akning av i
0
:
i
0
= IR
Sp
¨
anning (amplitud):
(boken, 31.7)
(Ohms lag bara!)
V
R
= IR
11.6.8 Kondensator i AC-krets
Sp
¨
anning (f
¨
orskjutning):
(Powerpoints, f
¨
orel
¨
asning 11)
ϕ = −
π
2
Sp
¨
anning (amplitud):
(boken, 31.19)
V
C
= IX
C
11.6.9 Sp
¨
anning
¨
over induktor i AC-krets
Sp
¨
anning (f
¨
orskjutning):
(Powerpoints, f
¨
orel
¨
asning 11)
ϕ =
π
2
Sp
¨
anning (amplitud):
(boken, 31.13)
V
L
= IX
L
11.7 Kretsar med induktans
11.7.1 RL-krets
En RL-krets best˚ar av en resistor och en induktor.
Vid DC-sp
¨
anning (liksp
¨
anning):
58
Total sp
¨
anning:
V
tot
= RI + L
dI
dt
Momentan str
¨
om:
(boken, 30.14)
I(t) =
V
R
(1 − e
−(
R
L
t)
)
Tid fr˚an momentan str
¨
om:
t = −τ ln(1 −
I
I
0
Sp
¨
anning
¨
over induktor:
V (t) = V − RI(t) = V e
−(
R
L
t)
Tidskonstant:
(boken, 30.16)
τ =
L
R
AC-sp
¨
anning (v
¨
axelsp
¨
anning):
V = V
0
e
Z
I = V
0
e
Z
11.7.2 RCL-krets
En RCL-krets best˚ar av en resistor, en kondensator och en induktor. AC-
sp
¨
anning (v
¨
axelsp
¨
anning):
V = V
0
e
Z
samband fr˚an Max Yan (sv˚art att r
¨
akna ut):
V
L
=
d
2
Q
dt
2
+
R
L
dQ
dt
+
1
LC
Q
Str
¨
ommen (Khan Academy):
i
o
=
V
0
Z
· (sin(ωt + tan
−1
(
X
C
− X
L
R
)
12 V˚agr
¨
orelsel
¨
ara
12.1 Allm
¨
ant
12.1.1 Teori
En v˚agr
¨
orelse
¨
ar en st
¨
orning av ett system i j
¨
amvikt. Det finns tv˚a huvud-
sakliga typer av v˚agor. Se v˚agtyper nedan.
59
V˚agtyper
Det finns tv˚a typer av v˚agor. R
¨
orelsen
¨
ar den riktning som v˚agen utbreder
sig och f
¨
orskjutningen
¨
ar den riktning som v˚agen p˚averkar/“st
¨
or“ materialet
i.
Longitudinell v˚ag:
F
¨
orskjutningen ∥ r
¨
orelsen
Transversell v˚ag:
F
¨
orskjutningen ⊥ r
¨
orelsen
Figur 13: Transversell vs. longitudinell v˚ag.
12.1.2 Centralt Superpositionsprincipen
Tv˚a v˚agor som m
¨
ots kan samverka p˚a olika s
¨
att (f
¨
orst
¨
arka varandra, ta ut
varandra, etc. etc.).
12.1.3 Centralt V˚agfunktionen
(
y(x, y) = Acos(kx − ωt) Om v˚agen utbereder sig ˚at h
¨
oger
y(x, y) = Acos(kx + ωt) Om v˚agen utbereder sig ˚at v
¨
anster
A : Amplitud
k : V˚agtal (se nedan)
ω : Vinkelhastighet
t : Tiden
12.1.4 Centralt V˚agtalet
k =
2π
λ
60
12.1.5 Centralt Utberedningsfart f
¨
or v˚ag
Notera: detta
¨
ar hur v˚agen r
¨
or sig i mediet. Se nedan f
¨
or en formel f
¨
or has-
tigheten med hur mediet f
¨
orskjuts.
v = f · λ =
(
ω
k
Om v˚agen utbereder sig ˚at h
¨
oger
−
ω
k
Om v˚agen utbereder sig ˚at v
¨
anster
Notera: I formlerna nedan kan du beh
¨
ova anv
¨
anda omv
¨
ant tecken om v˚agen
utbereder sig ˚at v
¨
anster enligt angivet ovan.
12.1.6 Mediumets fart
n
v
y
= y
′
(t) = ωAsin(kx − ωt)
12.1.7 Mediumets acceleration
a
y
= v
′
y
= −ω
2
Acos(kx − ωt)
12.1.8 Hastigheten fr˚an v˚agekvationen
Notera: sambandet till h
¨
oger kan anv
¨
andas ifall du f˚ar en funktion f
¨
or en v˚ag
som inte
¨
ar den standardiserade v˚agekvationen.
v
2
=
ω
2
k
2
=
d
2
y
d
2
y
dx
12.2 Ljudv˚agor
12.2.1 Centralt V˚agfunktionen f
¨
or en ljudv˚ag
I en ljudv˚ag anv
¨
ands den allm
¨
ana v˚agfunktionen men ibland betecknas den S
ist
¨
allet.
S(x, y) = y(x, t)
12.2.2 Ljudtryck i en gas
P (x, t) = −B ·
∆V
V
12.2.3 Bulkmodulen
B =
1
kompressabiliteten
12.2.4 Ljudtryck som en funktion av tid
P (x, t) = −B
ds
dx
= P
max
· sin(kx − ωt)
12.2.5 Maximal ljudtryckamplitud
P
max
= B · A · k
61
12.2.6 Ljudets fart i en v
¨
atska eller en gas
Kommentar: Denna formel har h
¨
arletts genom Netwons lag.
v =
r
B
ρ
12.2.7 Ljudets fart i en solid
v =
r
Y
ρ
Y : Youngs modul (se tabell)
12.2.8 Centralt Ljudintensitet
I =
Effekt
Area
↑Allm
¨
ant samband
= P v
P : Tryck (Pa)
v : Partikelhastighet (m/s)
Centralt Fr˚an en punktk
¨
alla:
Ljudets intensitet p˚a ett avst˚and fr˚an en punktk
¨
alla kan skrivas som
I(r) =
P
ut
4πr
2
Sf
¨
arisk utberedning av ljudet
P
ut
: Ljudets effekt
r : Avst˚and fr˚an ljudk
¨
alla (m)
(Notera att ljudet sprids sf
¨
ariskt och inte som en cirkel! D
¨
arav 4π i areafor-
meln.)
Notera
¨
aven detta samband ifall du har flera ljudintensiteter:
I
1
I
2
=
r
2
2
r
2
1
Bulkmodulen i luft
(boken, exempel 16.1)
B
luft
= 1, 42 · 10
5
pA
Ljudintensitet fr˚an bulkmodul och v˚agtal:
I = BA
2
k
ω
2
¨
Annu fler uttryck f
¨
or ljudintensiteten: (h
¨
arlett fr˚an ljudhastigheten) (Mats,
fysikasse)
Letar du efter densitetstabeller?.
Se boken p˚a sida 394! Notera ocks˚a att
ρ
luft
= 1, 20kg/m
3
( vid 20
◦
C)
(detta
¨
ar SI-enheten f
¨
or densitet)
Letar du efter ljudhastighetstabeller?
Se boken p˚a sida 535 (tabell 16.1, l
¨
angst ner till h
¨
oger p˚a sidan!)
Observera skillnaden mellan f
¨
orskjutningsamplitud och tryckamplitud! Se till
att du vet vad de fr˚agar efter.
I =
A
2
ω
2
ρV
ljud
2
=
V
2
max
ρV
ljud
2
=
P
2
max
2ρV
ljud
=
P
max
2
√
ρB
I : Ljudintensitet W/m2
A : F
¨
orskjutningsamplituden (m)
P
max
: Tryckamplituden (Pa)
62
12.2.9 Ljudabsorption
(d
¨
ampning av ljud)
e
−αr
α : Absorptionskonstant (se tabell) (m-1)
r : Avst˚and fr˚an ljudk
¨
alla (m)
F
¨
or att r
¨
akna med ljudabsorbptionskonstanten: I ↔ I · e
−αr
12.2.10 Centralt Ljudintensitetsniv˚a (dB)
β = 10log(
I
I
0
)
I : Ljudintensiteten (Wm-2)
I
0
: Konstant (10
−12
)
intensitet fr˚an ljudintensitet (boken, exempel 16.8):
⇒ I = I
0
10
β
10
12.2.11 Partikelfart i ljudv˚ag
v =
ds
dt
= ωAsin(kx − ωt)
12.2.12 Ljudfarten
v = f λ =
ω
k
=
r
B
ρ
63
13 Interferens, allm
¨
ana formler
13.0.1 Centralt Totala intensiteten mellan tv˚a v˚agor
(Mats, Anna)
G
¨
aller b˚ade f
¨
or ljus och ljud.
I
tot
= I
1
+ I
2
+ 2
√
I
1
I
2
cos(∆ϕ)
Interferenstermen
I
tot
: Total ljudintensitet
I
1
: Intensitet av v˚ag 1
I
2
: Intensitet av v˚ag 2
∆ϕ : Fasskillnad (se nedan)
Notera:
• Maxintensiteten mellan tv˚a k
¨
allor vid interferens blir n
¨
ar cos(∆ϕ) = 1,
och l
¨
agsta intensiteten blir noll.
• Vid buller (ljud) f
¨
orsvinner interferenstermen fr˚an uttrycket helt!
• Fasf
¨
orskjutningen kan r
¨
aknas ut enligt nedan men ofta kan man
f
¨
orsumma flera variabler i sina ber
¨
akningar.
13.0.2 Centralt Fasf
¨
orskjutingen mellan tv˚a v˚agor
Fasf
¨
orkjutningen beror p˚a tre variabler:
∆ϕ = ∆kx − ∆ωt − ∆ϕ
12
1. ∆kx: Rumsberoende: skillnaden i “g˚angv
¨
ag“ och v˚agtal mellan tv˚a
v˚agor.
2. ∆ωt: Tidsberoende: skillnaden i frekvens mellan tv˚a v˚agor. Ljus: detta
¨
ar 0.
3. ∆ϕ
12
:
(a) Ljud: Fasskillnaden vid k
¨
allan: t.ex. om tv˚a h
¨
ogtalare
¨
ar kopplad
till samma f
¨
orst
¨
arkare vid k
¨
allan och s
¨
ander ut samma ljud, d˚a
¨
ar
fasskillnaden vid k
¨
allan 0.
(b) Ljus: Se nedan f
¨
or formler.
13.0.2.1 Centralt Fasskillnad vid k
¨
allan f
¨
or ljus / Optisk
v
¨
agl
¨
angd
(mina anteckningar fr˚an f
¨
orel
¨
asning 19, boken 35.11)
Termen n
1
r
1
− n
2
r
2
kallas skillnad i optisk v
¨
agl
¨
angd
→ Se nedan f
¨
or massa formler f
¨
or v
¨
agl
¨
angd!
ϕ
1
− ϕ
2
= k( n
1
r
1
− n
2
r
2
Optisk v
¨
agl
¨
angd,∆L
) = k∆L(k =
2π
λ
)
(k
¨
ar v˚agtalet)
64
13.0.3 Centralt Konstruktiv / destruktiv interferens
Samband kring fasskillnad:
(
∆ϕ = n · 2π Konstruktiv interferens
∆ϕ = (2n + 1) · 2π Destruktiv interferens
(d
¨
ar n
¨
ar ett godtyckligt heltal = 1, 2, 3, ..., k i b˚ada fallen)
Samband kring skillnad i str
¨
acka mellan tv˚a ljudv˚agor/ljudk
¨
allor (d˚a
¨
ovriga
fasvariabler inte spelar in) (bekant fr˚an gymnasiefysik):
(
∆L = (k)λ Konstruktiv interferens
∆L = (k +
1
2
) · λ Destruktiv interferens
(d
¨
ar k
¨
ar godtyckligt heltal som b
¨
orjar vid 0 (0, 1, 2, 3, ...n) i b˚ada fallen)
13.1 Interferens med ljud
13.1.1 Centralt Dopplereffekten: upplevd frekvens
Dopplereffekten
¨
ar fenomenet att om en k
¨
alla r
¨
or sig fr˚an eller mot lyssna-
ren, eller om lyssnaren r
¨
or sig, s˚a h
¨
or man inte k
¨
allfrekvensen utan en annan
frekvens.
13.1.1.1 Lyssnaren r
¨
or sig och k
¨
allan st˚ar still:
f
L
=
v + v
L
λ
s
= f
S
(1 +
v
L
v
)
f
L
: Frekvens upplevd av lyssnaren
v : Ljudets hastighet (konstant)
v
L
: Lyssnarens hastighet (se
¨
aven nedan!)
v
S
: Ljudets hastighet (se
¨
aven nedan!)
f
S
: K
¨
allans uts
¨
anda frekvens
Notera: Se nedan f
¨
or tecken p˚a hastigheterna!
13.1.1.2 Lyssnaren och k
¨
allan r
¨
or sig:
(boken, 16.29)
f
L
=
v + v
L
v + v
S
· f
S
f
L
: Frekvens upplevd av lyssnaren
v : Ljudets hastighet (konstant)
v
L
: Lyssnarens hastighet (se
¨
aven nedan!)
v
S
: Ljudets hastighet (se
¨
aven nedan!)
f
S
: K
¨
allans uts
¨
anda frekvens
(
v
L
, v
s
≥ 0 om lyssnaren r
¨
or sig mot k
¨
allan
v
L
, v
s
≤ 0 om lyssnaren r
¨
or sig bort fr˚an k
¨
allan
13.1.2 Sv
¨
angning/puls
Uppst˚ar n
¨
ar tv˚a liknande toner/frekvenser spelas samtidigt.
f
puls
= |f
1
− f
2
|
65
13.2 St˚aende v˚agor
13.2.1 Teori
En st˚aende v˚ag
¨
ar en v˚ag d
¨
ar uts
¨
and och reflekterad v˚ag
¨
ar i resonans med
varandra. Om vi t
¨
anker oss en tr˚ad f
¨
ast i en viss punkt som sedan s
¨
atts i r
¨
orelse
kan ju r
¨
orelsen “studsa tillbaka“ vid
¨
anden. F
¨
or att v˚agen ska bli st˚aende s˚a
kr
¨
avs ett visst randvillkor i v˚agfunktionen
‡‡
, vilket kommer ge att st˚aende
v˚agor bara finns f
¨
or vissa v˚agl
¨
angder.
13.2.2 Centralt Ljudets hastighet i luft
(vid 20
◦
C)
v
ljud
= 343 m/s
13.2.3 Ljudets hastighet i str
¨
ang (en st˚aende, transversell v˚ag)
v
ljud
=
r
F
µ
F : Sp
¨
annkraft (N)
µ : Massa per l
¨
angdenhet f
¨
or str
¨
angen (kgm-1)
‡‡
Se mina anteckningar i slutet p˚a formelbladet vid intresse/behov
66
13.2.4 Centralt M
¨
ojliga v˚agl
¨
angder f
¨
or st˚aende v˚agor
Samband mellan l
¨
angd och v˚agl
¨
angd
Notera
Dessa
¨
ar samma formler som interferensformlerna ovan.
Mycket viktigt Observera udda heltal f
¨
or sluten pipa!
Jag har d
¨
arf
¨
or valt att kalla de n
o
och n
s
(men de kallas bara n i boken)
(
n
o
= {1, 2, 3, .., k}
¨
Oppen pipa
n
s
= {1, 3, 5, .., k} Sluten pipa
¨
Oppen pipa: L = n
λ
2
L : Str
¨
angl
¨
angden (m)
n : Heltal! (1,2,3,...,k)
λ : V˚agl
¨
angd (m)
Sluten pipa: L =
1
4
+
n
s
2
λ
L : L
¨
angd (m)
n : Antal bukar
λ : V˚agl
¨
angd (m)
M
¨
ojliga v˚agl
¨
angder
λ
n
=
(
2L
n
o
¨
Oppen pipa
4L
n
s
Sluten pipa
M
¨
ojliga frekvenser
f
n
=
(
vn
o
2L
= n
s
f
1
¨
Oppen pipa (boken, 16.18, 16.19)
(2n
s
−1)v
4L
= n
o
f
1
Sluten pipa (boken, 16.23,16.23)
v
¨
ar ljudets hastighet i luft och f
1
¨
ar den f
¨
orsta frekvensen.
I str
¨
ang:
(notera: f
¨
or hastigheten av ljud i str
¨
ang, se 13.2.3)
f
n
=
n
2L
v
s
v
s
: Hastigheten f
¨
or ljud i str
¨
angen - se ovan f
¨
or formel! (m/s)
n : Heltal (1,2,3,...,k)
L : Str
¨
angl
¨
angd (m)
13.2.5 Grundton
(fr˚an mitt formelblad i gymnasiet)
• F
¨
or
¨
oppen pipa: n = 1.
• F
¨
or sluten pipa: n = 0.
13.2.6 Avst˚and mellan bukar och noder
(fr˚an mitt formelblad i gymnasiet) Mellan tv˚a bukar:
s =
λ
2
s : Str
¨
acka (m)
λ : V˚agl
¨
angd (m)
67
Mellan buk och nod:
s =
λ
4
s : Str
¨
acka (m)
λ : V˚agl
¨
angd (m)
Figur 14: Samband ovan f
¨
or en
¨
oppen pipa
Figur 15: Samband ovan f
¨
or en sluten pipa
13.2.7 Samband f
¨
or v˚ag i r
¨
or/pipor
• I en sluten pipa
¨
ar f
¨
orskjutningen lika med noll och trycket maximalt i
¨
anden.
• I en
¨
oppen pipa
¨
ar trycket lika med noll och f
¨
orskjutningen maximal i
¨
anden.
68
13.2.8 Resulterande st˚aende v˚ag i en pipa
Enligt superpositionsprincipen
S(x, t) = S
in
+ S
returnerad
= Acos(kx − ωt) + Acos(kx + ωt)
13.2.9 St˚aende elektromekaniska v˚agor
13.2.9.1 Teori
V˚agorna f
¨
or ett elektriskt f
¨
alt utbereder sig vinkelr
¨
att mot v˚agorna i ett mag-
netf
¨
alt. Med hj
¨
alp av Gauss lag och lite annat sm˚ajox s˚a kan vi ta fram uttryck
f
¨
or att beskriva dessa v˚agor.
Poyintingvektorn
¨
ar en vektor som visar hur stor effekt och area en v˚ag har
samt vilken riktning den f
¨
ardas i.
Str˚alningstryck
¨
ar ett m˚att p˚a den r
¨
orelseenergi som ett f
¨
orem˚al som tr
¨
affas
av v˚agen vid en viss tidpunkt skulle p˚averkats av.
13.2.9.2 Relation mellan elektriskt f
¨
alt och magnetf
¨
alt
(boken, 32.4)
E = cB
(boken, 32.8)
E = ϵ
0
µ
0
cE
(boken, 32.9)
c =
1
√
ϵ
0
µ
0
13.2.9.3 Sinusformade elektromagnetiska v˚agor
(boken, 32.18) Notera: om v˚agen f
¨
ardas i −x-riktning ist
¨
allet f
¨
or +x, byt ut
minustecknet innanf
¨
or cos mot ett minustecken!
E = E
max
cos(kx − ωt)
ˆ
j
E = B
max
cos(kx − ωt)
ˆ
k
Amplitud:
E
max
= cB
max
13.2.9.4 Hastighet av elektromagnetisk v˚ag i material
(boken, 32.21) Notera: formeln har
¨
annu fler omskrivningar i boken. Kolla
efter den p˚a kapitelsammanfattningssidan!
v =
1
ϵ
r
µ
r
=
c
KK
M
ϵ
r
µ
r
, c, K, K
M
: Konstanter (se tabell/formelblad)
13.2.9.5 Poyiningvektorn
Vektor: (boken, 32.28)
S =
1
µ
0
E ×
B
Magnitud: (boken, 32.28 (forts.) samt 32.29 (sista formeln))
I = {tidsmedelv
¨
arde av S} =
E
max
B
max
2µ
0
=
E
2
max
2µ
0
c
=
1
2
ϵ
0
cE
2
max
69
13.2.9.6 Str˚alningstryck
(f
¨
orel
¨
asningsanteckningar, f
¨
orel
¨
asning 16 samt boken, 32.31) Hur uttrycket
fungerar: Notera: Se nedan f
¨
or de formler som du f
¨
ormodligen kommer att
vilja anv
¨
anda.
kraft
area
=
r
¨
orelsem
¨
angd
volym
=
|
S|
c
0
Tryck vid total absorption
(n
¨
ar ytan
¨
ar vinkelr
¨
at mot v˚agen och absorberar den helt).
{tidsmedelv
¨
arde av S}
c
0
=
I
c
0
Tryck vid total reflektion (n
¨
ar ytan
¨
ar en perfekt reflektor)
2
I
0
c
0
13.2.9.7 Fl
¨
odeshastighet av str˚alningstyck
(boken, 32.31)
1
A
dp
dt
=
S
c
=
EB
µ
0
c
13.3 Interferens och diffraktion med ljus
13.3.1 Teori
Ljus kan interferera likt ljudv˚agor. Detta sker d
¨
aremot inte som p˚a ljud, mellan
tv˚a eller flera ljudk
¨
allor, utan endast ljus fr˚an samma k
¨
alla kan interferera med
varandra. Alternativt om de har exakt samma fas och exakt samma v˚agl
¨
angd
samt
¨
ar monokromatiska
¨
ar det m
¨
ojligt, se boken sida 1188.
Interferens i tunna skikt inneb
¨
ar att ett tunt skikt ligger mellan tv˚a ytor.
Str˚alarna som reflekteras innan de kommer in i skiktet respektive innan de
g˚ar ut i skiktet kan interferera med varandra. Om de interfererar konstruktivt
s˚a f
¨
orst
¨
arks ljuset fr˚an ytan. Om de interfererar destruktivt s˚a sl
¨
acks ljuset
ut.
Man tittar allts˚a p˚a dessa tv˚a str˚alar:
70
Figur 16: Illustration
¨
over de tv˚a str˚alarna i interferens f
¨
or tunt skikt
Man m˚aste vara noga med n
¨
ar det
¨
ar ett fasskift och inte! Det beror p˚a vilka
brytningindex de tre materialen har. Se 13.3.2.
Vid konstruktiv interferens i tunna skikt f
¨
orst
¨
arker str˚alarna varandra och man
f˚ar en stark reflektion fr˚an ytan.
Vid destruktiv interferens i tunna skikt sl
¨
acker str˚alarna ut varandra och man
f˚ar (teoretiskt sett) ingen reflektion fr˚an ytan.
Reflektans
¨
ar ett m˚att p˚a den procentuella andel ljusintensitet som reflekteras
fr˚an en yta. Med hj
¨
alp av den allm
¨
ana formeln f
¨
or intensitet kan d
¨
arav den
totala reflekterade ljusintensiteten fr˚an en yta ber
¨
aknas.
Antireflexbehandlingar
¨
ar ett typ av tunt skikt som kan anv
¨
andas f
¨
or att
minska reflexer. De fungerar b
¨
ast f
¨
or en viss v˚agl
¨
angd och en viss infallsvinkel.
(Oftast anv
¨
ander man vinkelr
¨
att infall). Ett typiskt antireflexskikt
¨
ar runt
100nm tjockt!
Antireflexbehandling mellan luft och glas (fr˚an f
¨
orel
¨
asningsanteckningar i Can-
vas):
Figur 17: Antireflexbehandling mellan luft och gla
Diffraktion medf
¨
or att ljusstr˚alar fr˚an samma k
¨
alla skapar interferensm
¨
onster
eftersom ljus kan b
¨
ojas av genom
¨
oppningar. Nedan finns n˚agra exempel:
71
• Fraunhoferdiffraktion (en enda
¨
oppning/“enkelspalt“): Om av-
st˚andet fr˚an ljuset och avst˚andet till d
¨
ar man observerar interferensm
¨
onstret
¨
ar mycket st
¨
orre
¨
an h˚alets uppning f˚ar man Fraunhofferdiffraktion.
Det finns tv˚a olika utseenden p˚a detta och tv˚a olika formler:
– Om
¨
oppningen
¨
ar rektangul
¨
ar: diffraktionen kommer ett m
¨
onster
med r
¨
ander med flera minima.
Figur 18: Fraunhoferdiffraktion med en rektangul
¨
ar
¨
oppning
– Om
¨
oppningen
¨
ar cirkul
¨
ar: diffraktionen kommer att bilda en “airy
disk“ med ett minima, en m
¨
ork ring.
Figur 19: Fraunhoferdiffraktion med en cirkul
¨
ar
¨
oppning
Utifr˚an cirkul
¨
ar diffraktion kan man ta fram det s˚a kallade Ray-
leightkriteriet, ett gr
¨
ansv
¨
arde f
¨
or att tv˚a punkter i en bild ska
vara uppl
¨
osta.
• Dubbelspalt eller gitter: vid fler
¨
oppningar f˚ar man interferens och
diffraktion samtidigt. Dubbelspalt inneb
¨
ar att
¨
oppningen man skickar
ljus igenom har tv˚a spalter, och gitter betyder att den har
¨
annu fler.
B˚ada dessa kommer bilda ett interferensm
¨
onster p˚a den ytan som de
belyser. I gitter
¨
ar avst˚anden mellan dessa maximan mycket smalare.
72
Figur 20: Interferens i dubbelspalt (fr˚an f
¨
orel
¨
asningsanteckningarna).
Figur 21: Interferens i gitter (fr˚an f
¨
orel
¨
asningsanteckningarna).
N
¨
amnv
¨
art om gitter/grundl
¨
aggande principer om gitter (fr˚an f
¨
orel
¨
asningsanteckningarna
i Canvas):
– Samma formler f
¨
or interferensmaximum och diffraktionsminimum
med gitter som f
¨
or dubbelspalt (gittret har spaltbredden a och
spaltavst˚andet d ).
– T
¨
atare gitter (fler spalter/mm, d mindre) ger st
¨
orre vinkel mellan
olika ordningars interferensmax.
– Smalare spalter ( a mindre) ger bredare diffraktionsm
¨
onster =¿
interferensmaximum f
¨
or fler ordningar syns.
– Olika v˚agl
¨
angder f˚ar sina interferensmaximum i olika vinklar.
13.3.2 Centralt Interferens i tunna skikt
M
¨
ojlig ihopbladning kring reflektion: konstruktiv interferens ger starkast
reflexer fr˚an en yta!
Allm
¨
ana fallet
(kolla
¨
aven formeln f
¨
or reflektans! (13.3.3)
(∆L g˚ar att likst
¨
alla saker med allm
¨
anna formler f
¨
or interferens)
∆L = 2ndcos(i
′
)+
(
λ
2
vid en och endast en reflektion mot t
¨
atare medium (se nedan)
0 annars
n = brytningsindex av tunna skiktets material
73
alternativ omskrivning med likst
¨
allning av allm
¨
ana formler f
¨
or in-
terferens:
(boken, sida 1203 samt YouTube, Dan the Tutor)
m = 0, 1, 2, 3, ..., n
2dn = mλ =⇒
(
en och endast en reflektion mot t
¨
atare medium: destruktiv interferens
annars: konstruktiv interferens
n = brytningsindex av tunna skiktets material,
t = tjocklek av skiktet
2dn = (m+
1
2
)λ =⇒
(
en och endast en reflektion mot t
¨
atare medium: konstruktiv interferens
annars: desktruktiv interferens
n = brytningsindex av tunna skiktets material,
t = tjocklek av skiktet
Vad betyder “en och endast en reflektion mot t
¨
atare medium? “
R
¨
akna antalet g˚anger kriterium nedan uppfylls f
¨
or varje material som
¨
ar in-
volverat i reflektionen:
1. Om n
1
> n
2
=⇒ inget fasskift.
2. Om n
1
= n
2
=⇒ ingen reflektion.
3. Om n
1
< n
2
=⇒ fasskift!
=⇒ Om (3) uppfylls en och endast en g˚ang har vi en och endast en reflektion
mot t
¨
atare medium!
13.3.3 Reflektans mellan tv˚a gr
¨
ansytor i tunt skikt / intensi-
tet av reflekterad intensitet i tunt skikt
(f
¨
orel
¨
asningsanteckningar, problemlista i fysik
¨
AR-skikt”, omskrivning fr˚an
boken, 35.16) Notera: denna formel ger bara reflektansen mellan tv˚a gr
¨
ansytor!
I ett tunt skikt har man ju tre, till exempel :). T
¨
ank p˚a det, du m˚aste kanske
r
¨
akna dubbelt! S˚a att du inte gl
¨
ommer.
Notera ocks˚a att f
¨
or flera reflekterade str˚alar ges den totala intensiteten inte
av summan av det man kan l
¨
osa ut h
¨
ar, utan av formeln f
¨
or summan av tv˚a
intensiteter (se allm
¨
ana formler f
¨
or v˚agor ovan).
R =
I
R
I
0
= (
n
2
− n
1
n
2
+ n
1
)
2
I
R
: Reflekterad intensitet
I
0
: Infallande intensitet
n
2
: Brytningsindex av material 2
n
1
: Brytningsindex av material 1
74
13.3.4 Antireflexbehandlingar
d ger den optimala (tunnaste) tjockleken av skiktet f
¨
or den givna v˚agl
¨
angden.
Optimalt ska man v
¨
alja ett index av skiktet s˚adant att n
f
≈
√
n
t
d
¨
ar n
t
¨
ar
ytan som man antireflexbehandlar:
(f
¨
orel
¨
asningsanteckningar f
¨
or f
¨
orel
¨
asning 19, Canvas):
Tunnast m
¨
ojliga skikt:
d =
λ
4n
f
d : Tjocklek av antireflexsskikt
λ : V˚agl
¨
angd som skiktet ska optimeras f
¨
or
n
f
: Brytningsindex av antireflexsskikt
λ = 4n
f
dcos(i
′
)
Brytningsindex som ska v
¨
aljas f
¨
or bra vinkelr
¨
at antireflexbehandling:
n
f
≈
√
n
t
n
f
: Brytningsindex av antireflexskiktet
n
t
: Brytningsindex av ytan som antireflexbehandlas
⇒ saknas n˚agot? Har du ett annat fall? Antireflexbehandlingar
¨
ar bara ett fall
n
¨
ar vi har total destruktiv interferens i ett tunt skikt - du kan anv
¨
anda dig
av interferensformlerna i tunna skikt ocks˚a! (formlerna ovan
¨
ar h
¨
arledda fr˚an
detta)
Mer om brytningsindex:
Fr˚an l
¨
osningsf
¨
orslag till “Undervattenskamera“i fysik-problemlistan:
“F
¨
or att en antireflexbehandling ska fungera bra m˚aste b
¨
agge reflexerna vara
likstarka. Detta kan bara ske om brytningsindex fr˚an material 1 till tunna
antireflexlagret och fr˚an antireflexlagret till det man antireflexbehandlar (t.ex.
en glaslins)
¨
ar ungef
¨
ar lika stort.“
Notera: det finns bilder som demonstrerar dessa fenomen (enkelspalt, dub-
belspalt, olika typer av
¨
oppningar) ovan samt i boken (b
¨
orjar p˚a sidan 1210)
om du
¨
ar os
¨
aker p˚a vad som
¨
ar vad!
13.3.5 Centralt Enkelspalt
13.3.5.1 Centralt Diffraktionsmin i enkelspalt
(Karl, fysikasse)
(Notera: detta
¨
ar endast f
¨
or en spalt (ett h˚al). Nedan finns formler f
¨
or flera
spalter! Formeln nedan g
¨
aller d˚a l >> d (sk
¨
armavst˚andet
¨
ar mycket st
¨
orre
¨
an
spaltavst˚andet))
Spalt/rektangul
¨
art h˚al med bredd a:
sin(θ
min
) =
λ
a
75
Cirkul
¨
ar
¨
oppning:
sin(θ
min
) =
1, 22λ
D
13.3.6 Centralt Dubbelspalt eller gitter
13.3.6.1 Centralt Konvertering av antal ritsar/linjer/spal-
ter till spaltavst˚and
(Karl, fysikasse samt mitt formelblad i gymnasiet)
OBS: Givet v
¨
arde i mm:
d =
1
x · 10
3
x : Antal spalter/linjer/ritsar per mm
d : Spaltavst˚and i gitter (m)
OBS: Givet v
¨
arde i m: → ta bort 10
3
-uttrycket ovan.
13.3.6.2 Centralt Interferensmax i gitter
(Karl, fysikasse)
dsin(θ
max
) = mλ
13.3.6.3 Centralt Diffraktionsmin i gitter
(Karl, fysikasse)
F
¨
or ett gitter med spaltavst˚and a:
sin(θ
min
) = m
λ
a
13.3.6.4 Ljusintensitet givet en viss vinkel i gitter
(Karl, fysikasse)
I = I
0
(
sin(q)
πq
); q =
asinθ
λ
13.3.7 Centralt Gr
¨
ansv
¨
arde f
¨
or
¨
overlappande str˚alar (Ray-
leighkriteriet/Fraunhoferdiffraktion i lins)
α =
1, 22λ
D
α : Kritisk vinkel (rad)
D : Linsens diameter (m)
Storlek av “fl
¨
acken“ som linsen avbildar:
r
a
=
1, 22λs
′
D
s
′
≈ f Uppl
¨
osningen blir:
76
• h
′
≥ r
a
: v
¨
al uppl
¨
osta
• h
′
= r
a
: uppl
¨
osningsgr
¨
ans
• h
′
≤ r
a
: uppl
¨
osningsgr
¨
ans
13.3.8 Resulterande amplitud och intensitet fr˚an interferens
mellan tv˚a v˚agor
(boken, 35.7 respektive 35.10)
E
P
= 2E|cos(
ϕ
2
)|
E : V˚agornas amplitud
ϕ : Fasskillnad
E
P
: Resulterande amplitud
I = I
0
cos
2
(
ϕ
2
)
fasskillnaden kan f˚as av av 13.0.2.1
14 Ljus
14.0.1 Centralt V˚agl
¨
angdstabell f
¨
or ljus
(boken, tabell 32.1 sida 1077)
(se
¨
aven figur 32.4, ocks˚a p˚a sida 1077!)
V˚agl
¨
angd (nm) F
¨
arg
380-450 Violett
450-495 Bl˚att
495-570 Gr
¨
ont
570-590 Gult
590-620 Orange
620-750 R
¨
od
14.0.2 Centralt Brytningsindex
(fr˚an mitt formelblad i gymnasiet, dubbelkollat med f
¨
orel
¨
asningsanteckningarna)
n =
c
v
n : Brytningsindex
c : Ljusets hastighet (3 · 10
8
m/s)
v : Hastighet av str˚alen i mediet (m/s)
14.1 Tumregel f
¨
or brytningsriktning
(fr˚an f
¨
orel
¨
asningsanteckningar, f
¨
orel
¨
asning 16)
(
n
′
> n (fr˚an tunnare till t
¨
atare material) =⇒ brytning mot normalen
n
′
< n (fr˚an t
¨
atare till tunnare material) =⇒ brytning fr˚an normalen
14.1.1 Infallsvinkel
(fr˚an f
¨
orel
¨
asningsanteckningar, f
¨
orel
¨
asning 16)
i = sin
−1
(
n
′
n
1
)
77
14.2 Totalreflektion
F˚as d˚a uttrycket f
¨
or infallsvinkel blir odefinierat, dvs. d˚a kvoten ovan blir > 1
eller < −1.
Ett uttryck f
¨
or detta (den kritiska infallsvinkeln) :
(Fysikasse (Karl))
i
kritisk
= sin
−1
(
n
′
n
)
14.3 Centralt Snells lag
En viktig notering h
¨
ar: Rita alla vinklar m
¨
att fr˚an normalen till ytan, inte
m
¨
att fr˚an sj
¨
alva ytan!
Tabell med brytningsindex: Se sida 1108 i boken!
v
v
′
=
λ
λ
′
=
n
′
n
=
sin(i)
sin(i
′
)
v : Hastighet i medium 1 (m/s)
v : Hastighet i medium 2 (m/s)
λ : V˚agl
¨
angd i medium 1 (m)
λ
2
: V˚agl
¨
angd i medium 2 (m)
n
′
: Brytningsindex i medium 2
n : Brytningsindex i medium 1
i : Infallsvinkel/reflektionsvinkel
i
′
: Brytningsvinkel/refraktionsvinkel
14.4 Paradoxial approximation av Snells lag
“Kan anv
¨
andas med h
¨
og noggrannhet f
¨
or vinklar upp till 5
◦
och med 10%
felmarginal p˚a vinklar upp till 20
◦
“ - Anna
Viktigt: Denna g
¨
aller endast d˚a vinkeln
¨
ar i radianer!
ni = n
′
i
′
14.5 Centralt Str˚alkonstruktion/str˚alritning
N˚agra exempel fr˚an f
¨
orel
¨
asningsanteckningarna i Canvas:
(Notera: se
¨
aven sida 1157 (fig 34.37) i boken f
¨
or fler exempel!)
78
79
eget exempel: positiv lins och negativ lins i samma system:
80
14.6.1 Centralt Teckenkonvention f
¨
or avbildningar
14.6.2 Centralt Teckenkonvention f
¨
or f
¨
orstoringar
14.6.3 Centralt Reel- och icke-reel bild
14.6.4 Centralt Negativ och positiv lins
(f
¨
orel
¨
asningsanteckningar i Canvas)
Generellt f
¨
or avbildningar:
• s > 0 om objektet
¨
ar p˚a samma sida som det infallande ljuset. F
¨
oljd:
s > 0 ger oss ett reellt objekt.
• s
′
> 0 om bilden
¨
ar p˚a samma sida som det utg˚aende ljuset. F
¨
oljd:
s
′
> 0 ger oss en reell bild.
• r
¨
ar positiv om ytans “kr
¨
okningscentrum“
¨
ar p˚a samma sida som det
utg˚aende ljuset
F
¨
or f
¨
orstoringar:
• |M |> 1 ger en f
¨
orstoring.
• |M |< 1 ger en f
¨
orminskning.
• M < 0 ger en att bilden hamnar upp och ner.
F
¨
or styrkan/dioptrier:
• P < 0 om linsen
¨
ar tunnare p˚a mitten (Negativ lins)
– En negativ lins kallas
¨
aven divergerande eller konkav.
– Linsen sprider ljusstr˚alar.
• P > 0 om linsen
¨
ar tjockare p˚a mitten (Positiv lins)
– En positiv lins kallas
¨
aven konvergerande eller Konvex
– Linsen fokuserar ljusstr˚alar till en och samma punkt.
14.6.5 Centralt Avbildning: allm
¨
an formel
g
¨
aller i alla ytor!
P =
n − n
′
r
=
n
s
+
n
′
s
′
Om storheten P i formlerna
P
¨
ar en beteckning f
¨
or ytans ‘styrka‘ och m
¨
ats i enheten dioptri (D). (m
−1
)
P =
n − n
′
r
Teckenkonventioner f
¨
or P finns angivna ovan.
14.6.6 Centralt Avbildning: sf
¨
arisk gr
¨
ansyta
(boken, 34.19)
82
N
¨
ar objektet
¨
ar ∞ l˚angt bort:
P = (n − 1)(
1
r
1
−
1
r
2
)
P : Brytkraft (D)
n : Brytningsindex
r
1
: Se illustration nedan (m)
r
2
: Se illustration nedan (m)
Specialfall: bild formas av refraktion
samband mellan objekt och bild:
(boken, 34.11)
n
s
+
n
′
s
′
=
n
′
− n
r
1
i en plan yta (t.ex. om man tittar ner i en bass
¨
ang):
(boken, 34.13)
n
s
+
n
′
s
′
= 0
Figur 22: Beteckningar f
¨
or sf
¨
arisk gr
¨
ansyta
14.6.7
Centralt Avbildning: tunn lins
14.6.7.1 Centralt Kr
¨
okt lins/linsmakarens ekvation Fo-
kall
¨
angd fr˚an linsens ‘kurvaturradie“:
f =
R
2
R : magnitud av kurvaturradie”(m)
(boken, 34.16, The Organic Chemistry Tutor p˚a YouTube, flera andra YouTu-
bers, fysikasse, etc.)
(g
¨
aller
¨
aven spegel)
N
¨
ar objektet
¨
ar ∞ l˚angt bort kan kanske tunn-linsavbildningformeln anv
¨
andas.
83
14.6.7.2 Centralt Tunna lins-ekvationen
P =
1
f
=
1
s
+
1
s
′
14.6.8 Centralt F
¨
orstoring (Lateral f
¨
orstoring)
M =
h
′
h
= −
n
′
s
′
ns
(Notera: i n
¨
astan alla fall f
¨
orsvinner n och n
′
p˚a uttrycket d˚a man r
¨
aknar i
luft och antar att de
¨
ar = 1. (
¨
aven undertecknat av Karl, fysikasse))
14.6.9
Centralt Vinkelf
¨
orstoring, allm
¨
an formel
(boken, 34.21)
M =
β
α
Allm
¨
an formel
(α betecknar synvinkel utan instrument (innan man tr
¨
affar linsen), och
β betecknar synvinkel med instrument (p˚a “linsens sida“))
Notera: f
¨
or vinkelf
¨
orstoring i lupp, se nedan (formel 14.6.13.2). Det finns
¨
aven
n˚agra approximationer man kan g
¨
ora,
¨
aven dessa finns nedan.
14.6.10 Teori: vad
¨
ar skillnad mellan avbildningarna?
Kameraapproximation och formlerna f
¨
or kameror kan anv
¨
andas om objekts-
avst˚andet
¨
ar mycket st
¨
orre
¨
an fokall
¨
angden. Andra exempel, f
¨
orutom kameror,
¨
ar
¨
ogon som fokuserar p˚a ett objekt i o
¨
andligheten.
Teleskop och kikare har k
¨
annetecknet att avst˚andet mellan linserna
¨
ar lika
med summan av deras fokall
¨
angd. Om detta
¨
ar fallet f
¨
or t.ex. en zoomlins, kan
denna approximation ocks˚a anv
¨
andas. Kikare har ocks˚a ett “r
¨
attv
¨
andningssystem“
i sig.
Namngivning av linser i teleskop: Den f
¨
orsta linsen (n
¨
armast objektet)
heter objektiv/objective. Den andra linsen (som
¨
ar n
¨
armast
¨
ogonen) heter oku-
lar/eyepiece.
Lupp och f
¨
orstoringsglas: Nyckeln f
¨
or denna approximation
¨
ar att objektet
¨
ar innanf
¨
or fokall
¨
angden. Skillnaden mellan en lupp och ett f
¨
orstoringsglas
¨
ar vart man placerar
¨
ogat. Vid ett f
¨
orstoringsglas placeras
¨
ogat p˚a avst˚and,
medan det p˚a en lupp placeras precis intill. Vi f˚ar en virtuell bild. Mikro-
skop i ett mikroskop placeras ocks˚a
¨
ogat precis intill. Mellanbilden ligger p˚a
fokall
¨
angds avst˚and fr˚an okularet!
Sammanfattning av vilka formler som kan anv
¨
andas n
¨
ar
s >> f =⇒ Kamera
d
12
= f
1
+ f
2
=⇒ Teleskop och kikare
s < f =⇒ Lupp/f
¨
orstoringsglas
Diverse str˚alritningar (fr˚an f
¨
orel
¨
asningsanteckningar i Canvas)
84
Figur 23: Str˚aldiagram f
¨
or kamera
Figur 24: Str˚aldiagram f
¨
or teleskop/kikare
85
Figur 25: Str˚aldiagram f
¨
or f
¨
orstoringslgas
Figur 26: Str˚aldiagram f
¨
or mikroskop
14.6.11 Avbildningar i kamera/system med s >> f (t.ex.
¨
oga
som tittar p˚a l˚angt h˚all)
→ Vad som k
¨
annetecknar en “kamera“: objektsavst˚and mycket l
¨
angre
¨
an fo-
kall
¨
angden.
14.6.11.1 Centralt Kameraapproximationer
(mina anteckningar fr˚an f
¨
orel
¨
asning 16, G
¨
oran Manneberg)
Om f << s (vilket den
¨
ar i m˚anga fall) s˚a kan denna approximation g
¨
oras:
s
′
≈ f omf << s
(notera: om de fr˚agar om “hur l˚angt
¨
ar sensorn fr˚an linsen“ b
¨
or du inte
anv
¨
anda approximationen ovan utan ist
¨
allet r
¨
akna ut s
′
fr˚an tunna linsfor-
meln!)
86
Figur 27: Str˚alritning f
¨
or en makrolins
man kan
¨
aven approximera f
¨
orstoringen:
(G
¨
oran Manneberg)
M ≈
f
s
14.6.11.2 Olika typer av kameraobjektiv
(mina anteckningar fr˚an f
¨
orel
¨
asning 16)
• L˚ang fokall
¨
angd (teleobjektiv:) f > 200mm (Anna) (300 −500mm
typisk, 1500 − 1800mm “edge case“ enligt G
¨
oran Manneberg)
• Kort fokall
¨
angd (vidvinkel:) f < 30mm
Makrolins: best˚ar av en positiv lins framf
¨
or objektivet. Det blir en mellanbild
av makrolinsen (virtuell bild).
14.6.11.3 Centralt Objektsh
¨
ojd i kamera
(mina och anteckningar i Canvas fr˚an f
¨
orel
¨
asning 16, G
¨
oran Manneberg)
h
′
= M
lateral f
¨
orstoring, inte vinkelf
¨
orstoring!
·h = −
s
′
s
·h ≈ −
f
s
·h = −
h
s
·f = −tan θ·f ≈ −θ·f
f
¨
or sm˚a vinklar i radianer.
14.6.11.4 F
¨
orenkling Synf
¨
alt i kamera
(Notera: detta
¨
ar fr˚an ett l
¨
osningsf
¨
orslag, “
¨
Overvakningskamera“ fr˚an pro-
blemlistan i fysik p˚a Canvas. Os
¨
aker p˚a om detta
¨
ar en allm
¨
an formel eller
inte!)
d
max
2f
= tanψ
d
max
: Maximal bredd av kamerans chipp
f : Fokall
¨
angd
ψ : Synf
¨
altets vinkel
(notera: synf
¨
alt angivet som ±45
◦
t.ex., d˚a r
¨
aknar man med ψ = ±45
◦
, inte
ψ = 90
◦
.)
87
14.6.11.5 Centralt L
¨
ampligt f-nummer/f-stopp f
¨
or kame-
ra
Notera att f-stoppet betecknas med samma bokstav som fokall
¨
angden, men
¨
ar ett annat nummer!
f
n
=
f
D
f
n
: F-nummer (inte fokall
¨
angd!)
f : Fokall
¨
angd av kamera
D : Diameter av linsens
¨
oppning
14.6.11.6 Centralt Ljusintensitetssamband i kamera/slutar-
tider i kamera
Eftersom att ljusintensiteten
¨
ar proportionell mot fokall
¨
angden och mot dia-
metern p˚a
¨
oppningen (i kvadrat) g
¨
aller f
¨
oljande:
I ∝
D
2
I
2
=⇒
I
1
I
2
D
1
/D
2
f
1
/f
2
2
Se exempel 34.12 p˚a sid. 1163 f
¨
or hur sambandet ovan kan anv
¨
andas! (man
kan t.ex. r
¨
akna ut slutartiden om man
¨
andrar f-stoppet)
14.6.12 Avbildningar i teleskop, kikare (eller zoom-/teleobjektiv
p˚a t.ex. kameror)
→ Det som k
¨
annetecknar detta system
¨
ar att avst˚andet mellan linser =
fokall
¨
angden! Har du detta p˚a t.ex. en zoomlins
¨
ar det allts˚a appropriat att
anv
¨
anda formlerna f
¨
or teleskop.
14.6.12.1 Centralt Avst˚and mellan linser
(mina f
¨
orel
¨
asningsanteckningar f
¨
or f
¨
orel
¨
asning 16)
d
12
= f
1
+ f
2
d
12
: Avst˚and mellan lins 1 och lins 2 (m)
f
1
: Fokall
¨
angd av lins 1 (m)
f
2
: Fokall
¨
angd av lins 2 (m)
14.6.12.2 Centralt Vinkelf
¨
orstoring i teleskop/kikare
(mina f
¨
orel
¨
asningsanteckningar f
¨
or f
¨
orel
¨
asning 16)
β
α
= −
f
1
f
2
f
1
: Fokall
¨
angd av objektiv
f
2
: Fokall
¨
angd av ‘eyepiece‘
14.6.12.3 Kikarm
¨
arkning
(mina f
¨
orel
¨
asningsanteckningar f
¨
or f
¨
orel
¨
asning 16)
Kikare m
¨
arks enligt
7
|M|
50
D
1
Diameter p˚a lins i
53
◦
α
max
88
14.6.13 Avbildningar i lupp
→ Vad som k
¨
annetecknar en “lupp“: objektet ligger innanf
¨
or fokall
¨
angden och
¨
ogat placeras alldeles intill linsen!
14.6.13.1 Centralt Kortast m
¨
ojliga fokuseringsavst˚and f
¨
or
en m
¨
anniska
Vi kan som n
¨
armast fokusera p˚a objekt som
¨
ar 25cm ifr˚an oss. Detta ligger till
grund b˚ade f
¨
or formeln nedan och f
¨
or flera approximationer som vi g
¨
or.
14.6.13.2 Centralt Vinkelf
¨
orstoring i lupp
(boken, 34.25)
M =
0, 25m
f
14.6.14 Avbildningar i mikroskop
14.6.14.1 Centralt Vinkelf
¨
orstoring i mikroskop
(f
¨
orel
¨
asningsanteckningar i Canvas, boken 34.24)
M = m
1
M
2
=
0, 25m · s
′
1
f
1
f
2
d
¨
ar m
1
¨
ar f
¨
orstoringen i okularet:
(boken, 34.23)
m
1
=
s
′
1
s
1
≈
s
′
1
f
1
14.6.15
¨
Ovriga noteringar av avbildningar i optiska system
• Ett optiskt system kan ha en systemfokall
¨
angd som is˚afall kan f˚as ur
h
¨
ojden f
¨
or den slutgiltiga bilden:
h
′′
= f
Systemfokall
¨
angd
· α
• Vart man ska placera
¨
ogat vid kikare och mikroskop kallas f
¨
or ut-
tr
¨
adespupill. P˚a kikare
¨
ar detta ofta
¨
ogonfransl
¨
angden, 8mm. P˚a mik-
roskop
¨
ar detta cirka 16mm.
• Hypotetiska maxf
¨
orstoringen f
¨
or ett mikroskop
¨
ar en v˚agl
¨
angd.
Viktigt! Avbildningsformlerna nedan
¨
ar separerade f
¨
or att jag
¨
ar os
¨
aker om
de fungerar och n
¨
ar de g
¨
aller. De
¨
ar anteckningar fr˚an en f
¨
orel
¨
asning.
14.6.16 Avbildning: brytande yta
P =
n
′
− n
r
89
14.6.17 Avbildning: brytande spegel
P =
2
r
14.7 Polarisation
14.7.1 Teori
N
¨
ar ljus reflekteras i ett material s˚a
¨
ar Brewstervinkeln (14.7.9.3) relevant.
Denna vinkel anger en gr
¨
ansvinkel f
¨
or n
¨
ar endast linj
¨
arpolariserat ljus reflek-
teras av materialet och alla andra typer av ljus g˚ar igenom materialet.
14.7.2 Generellt: komposanter av polarisationens elektriska
f
¨
alt
(mina f
¨
orel
¨
asningsanteckningar till f
¨
orel
¨
asning 21)
E
y
= Asin(kz − ωt + ∆
y
)
E
x
= Asin(kz − ωt + ∆
x
)
E =
"
E
x
E
y
#
Notera: Alla termer f
¨
orutom delta-termerna
¨
ar samma f
¨
or b˚ada komposan-
terna av det elektriska f
¨
altet.
14.7.3 Centralt Olika typer av polarisation
Linj
¨
arpolariserat ljus:∆
x
− ∆
y
= m · π
(samma fas p˚a E
x
&E
y
)
Cirkul
¨
arpolariserat ljus:A
x
= A
y
, ∆
x
− ∆
y
=
π
2
+ m · π
(samma amplitud p˚a E
x
&E
y
, men en fasskillnad p˚a
π
2
)
Opolariserat ljus: ∆
x
− ∆
y
¨
andras ofta
Elliptiskt polariserat ljus: inget av ovanst˚aende villkor uppfylls (ing˚ar inte i kursen)
14.7.4 Polarisationsfilter
14.7.5 Centralt Polarisationsfilter: minskning av intensi-
tet vid opolariserat ljusinfall
I
1
=
I
0
2
14.7.6 Centralt Polarisationsfilter: Malus lag
¨
Andringen av intensitet n
¨
ar ljusv˚agor passerar genom ett polarisationsfilter
ges enligt
I
2
= I
1
cos
2
(θ)
d
¨
ar θ
¨
ar vinkeln mellan infallsvinkeln av ljuset och hur ljuset bryts i filtret
(viktigt!)
90
14.7.7 Dubbelbrytning
Det finns en optisk v
¨
agskillnad mellan det ordin
¨
ara och extraordin
¨
ara bryt-
ningsindexet
§§
, som ocks˚a ger ett uttryck f
¨
or en fasskillnad.
∆L = d(n
o
− n
e
)
n
o
: Ordin
¨
art brytningsindex
n
e
: Extraordin
¨
art brytningsindex
∆L : Optisk v
¨
agsskillnad (m)
d : Tjocklek av material (m)
∆Φ =
2π
d
(n
o
− n
e
)
14.7.8 Centralt Reflektans och transmittans
R =
I
R
I
0
T =
I
T
I
0
R + T = 1
R : Reflektans
T : Transmittans
I
0
: Intensitet av infallande ljus
I
R
: Intensitet av reflekterat ljus
I
T
: Intensitet av transmitterat ljus
14.7.9 Centralt Reflektans f
¨
or s-polariserat och p-polariserat
ljus
14.7.9.1 Centralt Fresnels formler (mina f
¨
orel
¨
asningsanteckningar
f
¨
or f
¨
orel
¨
asning 21)
Stor infallsvinkel (ingen sm˚avinkelapproximation):
R
s
= (
sin(i − i
′
)
sin(i + i)
)
2
Liten infallsvinkel:
R
s
≈ (
i − i
′
i + i
)
2
= (
n
′
− n
n
′
+ n
)
2
R
p
= (
tan(i − i
′
)
tan(i + i)
)
2
14.7.9.2 Centralt Summan av reflektanser f
¨
or s-polariserat
och p-polariserat ljus (mina f
¨
orel
¨
asningsanteckningar f
¨
or f
¨
orel
¨
asning 21)
Viktigt: detta samband g
¨
aller ENDAST f
¨
or opolariserat ljus (detta
¨
ar ett
vanligt fel p˚a tentan enligt Anna)
R =
R
s
+ R
p
2
Liten infallsvinkel (sm˚avinkelapproximation):
R
p
≈ R
s
= S
§§
tv˚a olika brytningsindex som str˚alarna p˚averkas av beroende p˚a deras infallsvin-
kel
91
14.7.9.3 Centralt Brewstervinkeln: gr
¨
ansvinkel vid re-
flektion (mina f
¨
orel
¨
asningsanteckningar f
¨
or f
¨
orel
¨
asning 21)
Brewstervinkeln ger den infallsvinkeln d
¨
ar infallande ljus mot en yta med en
viss polarisation perfekt “delas upp“, t.ex. att endast linj
¨
arpolariserat ljus
reflekteras och resten forts
¨
atter genom ytan.
tan(i) =
n
′
n
⇐⇒ i + i
′
= 0 =⇒ R
p
= 0
A Sidh
¨
anvisningar i b
¨
ocker
A.1 Sammanfattningar
Univerity Physics with Modern Physics (14th Edition):
• 21: Electric charge and electric field: s. 735
• 22: Gauss’s Law: s. 767
• 23: Electric potential: s. 799
• 24: Capacitance and Dielectrics: s. 830
• 25: Current, resistance, and Electromotive Force: s. 862
• 26: Direct-Current Circuits (inneh˚aller bl.a. Kirchoffs lagar): s. 895
• 27: Magnetic Field and Magnetic Forces: s. 934
• 28: Sources of Magnetic Field: s. 969
• 29: Electromagnetic Induction: s. 1003
• 30: Inductance: s. 1035
92
